Question

【題目】如圖，是的直徑，點在上，點是上一動點，且與點分別位于直徑的兩側，，過點作交的延長線于點；

（1）當點運動到什么位置時，恰好是的切線？畫出圖形并加以說明．

（2）若點與點關于直徑對稱，且，畫出圖形求此時的長．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析；（2）畫圖見解析，CQ＝6.4．

【解析】

（1）畫出圖形，根據切線的判定，直接判斷即可；

（2）畫出圖形，根據tan∠CPB＝tanA＝，AB＝5，求出AC，BC的長，再根據對稱，利用等積法求出CP的長度，最后，再根據tan∠CPB＝＝，求出CQ的長即可．

解：（1）當點P運動到直線OC與⊙O的交點處．

如圖，當點P運動到直線OC與⊙O的交點處時，則CP為的直徑，

又∵，

∴是的切線；

（2）如圖，連接CB．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠P＝∠A，

∴tan∠CPB＝tanA＝，

在Rt△ABC中，tanA＝，

∴設BC=4k，則AC=3k，

又∵AB＝5，

∴（4k）2+（3k）2=52，

∴k=1（舍負）

∴AC＝3，BC＝4．

∵點P與點C關于直徑AB對稱，

∴CP⊥AB，

在Rt△ABC中，CP＝＝4.8，

在Rt△PCQ中，tan∠CPB＝＝，

∴＝，

∴CQ＝6.4．