【題目】如圖,在直角坐標系中有為坐標原點,,將此三角形繞原點順時針旋轉,得到,二次函數(shù)的圖象剛好經過三點.

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點的坐標;

(2)過定點的直線與二次函數(shù)圖象相交于兩點.

①若,求的值;

②證明:無論為何值,恒為直角三角形;

③當直線繞著定點旋轉時,外接圓圓心在一條拋物線上運動,直接寫出該拋物線的表達式.

【答案】(1),;(2)①;②見解析;③

【解析】

1)求出點A、B、C的坐標分別為(03)、(-1,0)、(30),即可求解;

2)①SPMN=PQ×x2-x1),則x2-x1=4,即可求解;②k1k2==-1,即可求解;③取MN的中點H,則點HPMN外接圓圓心,即可求解.

(1),則,

即點的坐標分別為、、

則二次函數(shù)表達式為:,

即:,解得:,

故函數(shù)表達式為:,

;

(2)將二次函數(shù)與直線的表達式聯(lián)立并整理得:

,

設點的坐標為、,

則:,

同理:,

,當時,,即點,

,則

,

解得:

②點的坐標為、點,

則直線表達式中的值為:,直線表達式中的值為:,

為: ,

即:恒為直角三角形;

③取的中點,則點外接圓圓心,

設點坐標為,

,

整理得:

即:該拋物線的表達式為:

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(1)如圖1,當點M與點C重合,求證:DF=MN;

(2)如圖2,假設點M從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD向點D運動,點E同時從點A出發(fā),以cm/s速度沿AC向點C運動,運動時間為t(t>0);

判斷命題“當點F是邊AB中點時,則點M是邊CD的三等分點”的真假,并說明理由.

連結FM、FN,MNF能否為等腰三角形?若能,請寫出a,t之間的關系;若不能,請說明理由.

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