【題目】(2013年四川資陽11分)在一個邊長為a(單位:cm)的正方形ABCD中,點E、M分別是線段AC,CD上的動點,連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點F,過點M作MNDF于H,交AD于N.

(1)如圖1,當點M與點C重合,求證:DF=MN;

(2)如圖2,假設點M從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD向點D運動,點E同時從點A出發(fā),以cm/s速度沿AC向點C運動,運動時間為t(t>0);

判斷命題“當點F是邊AB中點時,則點M是邊CD的三等分點”的真假,并說明理由.

連結(jié)FM、FN,MNF能否為等腰三角形?若能,請寫出a,t之間的關(guān)系;若不能,請說明理由.

【答案】解:(1)證明:∵∠DNC+ADF=90°,DNC+DCN=90°,∴∠ADF=DCN。

ADF與DNC中,,

∴△ADF≌△DNC(ASA)。DF=MN。

(2)該命題是真命題。理由如下:

當點F是邊AB中點時,則AF=AB=CD

ABCD,∴△AFE∽△CDE,

。AE=EC,則AE=AC=a。。

CM=1t=a=CD

點M為邊CD的三等分點

。理由如下:

易證AFE∽△CDE,,即,得

易證MND∽△DFA,,即,得ND=t

ND=CM=t,AN=DM=a﹣t

MNF為等腰三角形,則可能有三種情形:

(I)若FN=MN,則由AN=DM知FAN≌△NDM,

AF=DM,即=t,得t=0,不合題意。此種情形不存在

(II)若FN=FM,由MNDF知,HN=HM,DN=DM=MC,

t=a,此時點F與點B重合

(III)若FM=MN,顯然此時點F在BC邊上,如圖所示,

易得MFC≌△NMD,FC=DM=a﹣t。

又由NDM∽△DCF,,即

=a﹣t。

t=a,此時點F與點C重合

綜上所述,當t=a或t=a時,MNF能夠成為等腰三角形。

解析(1)證明ADF≌△DNC,即可得到DF=MN。

(2)首先證明AFE∽△CDE,利用比例式求出時間t=a,進而得到CM=a=CD,所以該命題為真命題。

MNF為等腰三角形,則可能有三種情形,需要分類討論

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