Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣1,0），（0，﹣3），直線x=1為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，直線BC與對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為直線x=1右方拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），記A、B、C、P四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形面積為，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，將△DEQ沿邊EQ翻折得到△，是否存在點(diǎn)Q使得△與△BEQ的重疊部分圖形為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出BQ的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由拋物線的對(duì)稱軸直線x=1，A（﹣1,0）可知B（3，0），

設(shè)拋物線y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣3a，即a=1，

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣2x﹣3，其頂點(diǎn)D坐標(biāo)為：（1，﹣4）．

（2）設(shè)，易知直線的解析式為：，令，則，所以，

（ⅰ）當(dāng)在軸的下方時(shí)，即，連結(jié)，

因?yàn)?sub>，則，

化簡(jiǎn)得，，解之得，（舍）

所以的坐標(biāo)為

（ⅱ）當(dāng)在軸的上方時(shí)，即，

因?yàn)?sub>，則，

化簡(jiǎn)得，，解之得，（舍）

所以的坐標(biāo)為

綜上所述，的坐標(biāo)為或；

（3）存在．（ⅰ）如圖1所示，交于點(diǎn)，∵，

∴  ，即

∴ ；

（ⅱ）如圖2所示，交于點(diǎn)，∵，

∴  ，即，同理

∴  在中，設(shè)，由勾股定理得：，解之得，

∴；

（ⅲ）如圖3所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（ⅰ）（ⅱ）可知，

∵，

∴  ，即，

綜上所述，存在點(diǎn)Q使得△D^’EQ與△BEQ的重疊部分圖形為直角三角形，的長(zhǎng)度為或或．