【題目】已知,經(jīng)過點(diǎn)A(-4,4)的拋物線y=ax2+bx與x軸相交于點(diǎn)B(-3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,過點(diǎn)A作AH⊥x軸,垂足為H,平行于y軸的直線交線段AO于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)四邊形AHPQ為平行四邊形時(shí),求∠AOP的度數(shù);
(3)如圖2,,試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)C,使∠CAO=∠BAO?若存在,請(qǐng)求出直線AC解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2+3x;(2)90°;(3).
【解析】
(1)將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可;
(2)由已知A(-4,4)則可得到OA的解析式,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,m2+3m),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,-m).由題意可知QP=4,則-m-(m2+3m)=4,則可求得a的值,于是得到P(-2,-2),Q(-2,2),最后利用勾股定理的逆定理證明△OPQ為直角三角形即可;
(3)設(shè)AC交y軸于點(diǎn)D,根據(jù)題意證明△ABO≌△AOD,則OD=OB=3,設(shè)AC的解析式為y=px+q,將點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入求解即可.
(1)拋物線的解析式為
(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,其中
∵點(diǎn)A(-4,4),∴直線OA的解析式為,
從而點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,∴=
當(dāng)四邊形AHPQ為平行四邊形時(shí),PQ=AH=4,
即,解得,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為
∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45o+45o=90o.
(3)設(shè)AC交y軸于點(diǎn)D,由點(diǎn)A(-4,4)得,,
∵∠CAO=∠BAO,,∴≌
∴,點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,3)
設(shè)直線AC解析式為,則
解得,,∴直線AC解析式為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn),而且這兩個(gè)正方形的邊長相等.無論正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),兩個(gè)正方形重疊部分的面積,總等于一個(gè)正方形面積的( )
A. B. C. D.
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)展了“重差術(shù)”,用于測量不可到達(dá)的物體的高度,比如,通過下列步驟可測量山的高度PQ(如圖):
(1)測量者在水平線上的A處豎立一根竹竿,沿射線QA方向走到M處,測得山頂P、竹竿頂端B及M在一條直線上;
(2)將該竹竿豎立在射線QA上的C處,沿原方向繼續(xù)走到N處,測得山頂P、竹竿頂端D及N在一條直線上;
(3)設(shè)竹竿與AM、CN的長分別為、a1、a2,可得公式:PQ=+.則上述公式中,d表示的是( )
A. QA的長 B. AC的長 C. MN的長 D. QC的長
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連結(jié)OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié),得到四邊形DEFG.
(1)求證:四邊形DEFG是平行四邊形;
(2)若M為EF的中點(diǎn),OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+8,與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P(m,n)為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PF⊥y軸于點(diǎn)F,連接EF,若△PEF的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出m的取值范圍;
(3)以上(2)中的函數(shù)圖象是一條直線嗎?請(qǐng)嘗試作圖驗(yàn)證.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直線AE與BD交于點(diǎn)F,
(1)如圖1,若∠ACD=60°,則∠AFB= ;如圖2,若∠ACD=90°,則∠AFB= ;如圖3,若∠ACD=120°,則∠AFB= ;
(2)如圖4,若∠ACD=α,則∠AFB= (用含α的式子表示);
(3)將圖4中的△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度(交點(diǎn)F至少在BD、AE中的一條線段上),變成如圖5所示的情形,若∠ACD=α,則∠AFB與α的有何數(shù)量關(guān)系?并給予證明.
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【題目】如圖,已知拋物線:,交x軸于A,點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊,交y軸于C,其頂點(diǎn)為D,P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P沿y軸正方向作線段軸,使,當(dāng)P點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形記為.
若,求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo),并直接寫出圖形的函數(shù)解析式;
過B作直線軸,若直線l和y軸及,所圍成的圖形面積為12,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠工人小王某月工作的部分信息如下:
信息一:工作時(shí)間:每天上午,下午,每月天;
信息二:生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并且按規(guī)定每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品的件數(shù)不少于件.
生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)與所用時(shí)間之間的關(guān)系見下表:
生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)(件) | 生產(chǎn)乙產(chǎn)品數(shù)(件) | 所用時(shí)間 (分) |
信息三:按件計(jì)酬:每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可得元,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可得元.
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分鐘;
(2)小王該月最多能得多少元,此時(shí)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別多少件.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為6cm,B為⊙O外一點(diǎn),OB交⊙O于點(diǎn)A,AB=OA,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以π cm/s的速度在⊙O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為______時(shí),BP與⊙O相切.
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