Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，，，動點M從點B出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從點C出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，設運動的時間為.

（1）求的長.

（2）當時，求t的值

（3）試探究：t為何值時，為等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)10；(2)；（3）t=、t=或t=.

【解析】

（1）作梯形的兩條高，根據(jù)直角三角形性質(zhì)與矩形性質(zhì)進一步求解即可；

（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進一步求解即可；

（3）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以考慮三種情況，結(jié)合路程=速度×時間求得其中有關的邊，運用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的方法進一步求解即可.

（1）

如圖①，過A、D分別作AK⊥BC于K，作DH⊥BC于H，則四邊形ADHK為矩形，

∴KH=AD=3，AK=DH，

在Rt△ABK中，

∴AK=ABsin45°==4，

又∵，

∴∠BAK=45°，

∴BK=AK=4，

∴DH=AK=4，

在Rt△CDH中，由勾股定理可得：

HC=，

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；

（2）

如圖②，過D作DG∥AB交BC于G點，則四邊形ADGB為平行四邊形，

∴BG=AD=3，

∴GC=BCBC=103=7，

由題意得，當M、N運動t秒后，CN=t，CM=102t，

∵AB∥DG，MN∥AB，

∴DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC，

又∵∠C=∠C，

∴△MNC~△GDC，

∴,

∴，

解得t=；

（3）第一種情況：當NC=MC時，如圖③，

此時t=102t，

∴t=；

第二種情況：當MN=NC時，如圖④，作NE⊥MC于E，DH⊥BC于H，

∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，

∴△NEC~△DHC，

∴，

即：，

解得：t=；

第三種情況：當MN=MC時，如圖⑤，作DH⊥BC于H ，MF⊥CN于F，則FC=，

∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，

∴△MFC~△DHC，

∴，

即：，

解得：t=；

綜上所述，當t=、t=或t=時，△MNC為等腰三角形.