Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動（不與點M重合），點Q在半圓O上運動，且總保持PQ=PO，過點Q作⊙O的切線交BA的延長線于點C．
（1）當(dāng)∠QPA=60°時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；
（2）當(dāng)QP⊥AB時，△QCP的形狀是______三角形；
（3）由（1）、（2）得出的結(jié)論，請進一步猜想當(dāng)點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是______三角形．

Answer 1

（1）△QCP是等邊三角形，
證明：連接OQ，則CQ⊥OQ，
∵PQ=PO，∠QPC=60°，
∴∠POQ=∠PQO=30°，
∴∠C=90°-30°=60°，
∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°，
∴△QPC是等邊三角形．

（2）連接OQ，
∵∠PQO=∠POQ=45°，
∴∠CQP和∠C都是45°角的余角，
∴∠CQP=∠C=45°，
∴△QCP是等腰直角三角形．

（3）∵PQ=PO，
∴∠PQO=∠POQ，
∴∠CQP=∠PCQ，
∴△CPQ是等腰三角形．