【題目】如圖,在矩形ABCD中,點P在邊CD上,且與C、D不重合,過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q,連接PQ,M為PQ中點.
(1)求證:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,點P在邊CD上運動,設DP=x,BM2=y,求y與x的函數(shù)關系式,并求線段BM的最小值;
【答案】(1)證明見解析;(2)y=x2-20x+125(0<x<20)..
【解析】
試題分析:(1)由對應兩角相等,證明兩個三角形相似;
(2)如解答圖所示,過點M作MN⊥QC于點N,由此構造直角三角形BMN,利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關系式,這是一個二次函數(shù),求出其最小值;
試題解析:(1)∵∠QAP=∠BAD=90°,
∴∠QAB=∠PAD,
又∵∠ABQ=∠ADP=90°,
∴△ADP∽△ABQ.
(2)∵△ADP∽△ABQ,
∴,即,解得QB=2x.
∵DP=x,CD=AB=20,
∴PC=CD-DP=20-x.
如圖所示,過點M作MN⊥QC于點N,
∵MN⊥QC,CD⊥QC,點M為PQ中點,
∴點N為QC中點,MN為中位線,
∴MN=PC=(20-x)=10-x,
BN=QC-BC=(BC+QB)-BC=(10+2x)-10=x-5.
在Rt△BMN中,由勾股定理得:BM2=MN2+BN2=(10-x)2+(x-5)2=x2-20x+125,
∴y=x2-20x+125(0<x<20).
∵y=x2-20x+125=(x-8)2+45,
∴當x=8即DP=8時,y取得最小值為45,BM的最小值為=.
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【題目】如圖,點C在射線OA上,CE平分∠ACD. OF平分∠COB并與射線CD交于點F。
(1)依題意補全圖形;
(2)若∠COB+∠OCD=180°,求證:∠ACE=∠COF。
請將下面的證明過程補充完整。
證明:∵CE平分∠ACD,OF平分∠COB,
∴∠ACE=______________,∠COF=∠COB。
(理由: _____________________________________)
∵點C在射線OA上,
∴∠ACD+∠OCD=180°。
∵∠COB+∠OCD=180°,
∴∠ACD=∠____________。
(理由: ___________________________________)
∴∠ACE=∠COF。
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【題目】下列計算結果正確的是( 。
A. a4﹒a2=a8 B. (a5)2=a7 C. (a-b)2=a2-b2 D. (ab)2=a2b2
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【題目】某服裝店經(jīng)銷一種品牌服裝,平均每天可銷售20件,每件贏利44元,經(jīng)市場預測發(fā)現(xiàn):在每件降價不超過10元的情況下,若每件降價1元,則每天可多銷售5件,若該專賣店要使該品牌服裝每天的贏利為1600元,則每件應降價_________元.
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【題目】綜合與探究:如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C (2,3)兩點,與y軸交于點N,其頂點為D 。
(1)確定拋物線及直線AC的函數(shù)關系式;
(2)點M在直線x =3上,求使 MN+MD 的值最小時的M點坐標;
(3)若拋物線的對稱軸與直線AC 相交于點B,E 為直線AC 上的任意一點,過點E 作EF∥BD 交拋物線于點F,以B、D、E、F 為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,求點E 的坐標;若不能,請說明理由。
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