【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點,與y軸交于點C,設拋物線的頂點為D.
(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標.
(2)試判斷△BCD的形狀,并說明理由.
(3)若點E在x軸上,點Q在拋物線上.是否存在以B、C、E、Q為頂點且以BC為一邊的平行四邊形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
(4)探究坐標軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) 拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點D的坐標為(﹣1,4);(2) △BCD是直角三角形,理由見解析;(3) Q點的坐標為(﹣2,3)或(﹣1,﹣3)或(﹣﹣1,﹣3); (4) 符合條件的點P的坐標為:(0,0)或(0,﹣)或(﹣9,0).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
(2)利用勾股定理求得△BCD的三邊的長,然后根據勾股定理的逆定理即可作出判斷;
(3)當B、C、E、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,有兩種情況:①當Q點的縱坐標為3時,②當點Q的縱坐標﹣3時,代入解析式即可求得;
(4)分P在x軸和y軸兩種情況討論,舍出P的坐標,根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解.
(1)拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點,
∴,
解得a=﹣1,b=﹣2,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴頂點D的坐標為(﹣1,4);
(2)△BCD是直角三角形.
理由如下:如圖1,過點D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F,
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18,
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2,
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB﹣OE=3﹣1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20,
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD為直角三角形;
(3)①當Q點的縱坐標為3時,
∴把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3求得x=0或﹣2,
∴Q1(﹣2,3);
②當Q點的縱坐標為﹣3時,
把y=﹣3代入y=﹣x2﹣2x+3求得x=﹣1或﹣﹣1,
∴Q2(﹣1,﹣3),Q3(﹣﹣1,﹣3),
綜上,Q點的坐標為(﹣2,3)或(﹣1,﹣3)或(﹣﹣1,﹣3).
(4)由(2)知BC=3,CD=,BD=2,
①∵,,故當P是原點O時,△ACP∽△DBC;
②當AC是直角邊時,若AC與CD是對應邊,
設P的坐標是(0,a),則PC=3﹣a,,即,
解得:a=﹣9,
則P的坐標是(0,﹣9),三角形ACP不是直角三角形,則△ACP∽△CBD不成立;
③當AC是直角邊,若AC與BC是對應邊時,
設P的坐標是(0,b),則PC=3﹣b,則,即,
解得:b=﹣,
故P是(0,﹣)時,則△ACP∽△CBD一定成立;
④當P在x軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側,設P的坐標是(d,0),
則AP=1﹣d,當AC與CD是對應邊時,,即,
解得:d=1﹣3,此時,兩個三角形不相似;
⑤當P在x軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側,設P的坐標是(e,0).
則AP=1﹣e,當AC與DC是對應邊時,,即,
解得:e=﹣9,符合條件.
綜上,符合條件的點P的坐標為:(0,0)或(0,﹣)或(﹣9,0).
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的對稱軸為x=-1,與x軸的一個交點為(2,0).若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有整數(shù)根,則p的值有( )
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
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【題目】如圖,在ABCD中,過A、B、C三點的⊙O交AD于點E,連接BE、CE,BE=BC.
(1)求證:△BEC∽△CED;
(2)若BC=10,DE=3.6,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖所示,現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)將正方形紙片折疊,使點B落在P處,點C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.
(1)求證:∠APB=∠BPH;
(2)當點P在邊AD上移動時,△PDH的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結論;
(3)設AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關系式,試問S是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.
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【題目】斜坡AC上有一棵大樹AO,由于受臺風的影響而傾斜,如圖,斜坡AC的坡角為30°,AC長米,大樹AO的傾斜角是60°,大樹AO的長為3米,若在地面上B處測得樹頂部O的仰角為60°,求點B與斜坡下端C之間的距離.
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【題目】某校九(1)班開展數(shù)學活動,李明和張華兩位同學合作用測角儀測量學校旗桿的高度,李明站在B點測得旗桿頂端E點的仰角為45°,張華站在D(D點在直線FB上)測得旗桿頂端E點仰角為15°,已知李明和張華相距(BD)30米,李明的身高(AB)1.6米,張華的身高(CD)1.75米,求旗桿的高EF的長.(結果精確到0.1.參考數(shù)據:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)
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【題目】如圖,在△ABC中,CA=CB,∠C=90°,點D是BC的中點,將△ABC沿著直線EF折疊,使點A與點D重合,折痕交AB于點E,交AC于點F,那么sin∠BED的值為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,點D在邊BC上,點E在線段AD上,EF⊥AC于點F,EG⊥EF交AB于點G,若EF=EG,則CD的長為( )
A.3.6B.4C.4.8D.5
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【題目】如圖,BD是ABCD的對角線,AB⊥BD,BD=8cm,AD=10cm,動點P從點D出發(fā),以5cm/s的速度沿DA運動到終點A,同時動點Q從點B出發(fā),沿折線BD-DC運動到終點C,在BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運動.過點Q作QM⊥AB,交射線AB于點M,連接PQ,以PQ與QM為邊作□PQMN.設點P的運動時間為t(s)(t>0),PQMN與ABCD重疊部分圖形的面積為S(cm2).
(1)AP= cm(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當點N落在邊AB上時,求t的值.
(3)求S與t之間的函數(shù)關系式.
(4)連結NQ,當NQ與△ABD的一邊平行時,直接寫出t的值.
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