【題目】我們定義:有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

(1)概念理解:
請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子;
(2)問題探究;
如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P,連結(jié)AC,BD,試探究AC與BD的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)應用拓展;
如圖2,在Rt△ABC與Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如圖3),當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時,求出它的面積.

【答案】
(1)

矩形或正方形


(2)

解:AC=BD,理由為:

連接PD,PC,如圖1所示:

∵PE是AD的垂直平分線,PF是BC的垂直平分線,

∴PA=PD,PC=PB,

∴∠PAD=∠PDA,∠PBC=∠PCB,

∴∠DPB=2∠PAD,∠APC=2∠PBC,即∠PAD=∠PBC,

∴∠APC=∠DPB,

∴△APC≌△DPB(SAS),

∴AC=BD;


(3)

解:分兩種情況考慮:

(i)當∠AD′B=∠D′BC時,延長AD′,CB交于點E,

如圖3(i)所示,

∴∠ED′B=∠EBD′,

∴EB=ED′,

設EB=ED′=x,

由勾股定理得:42+(3+x)2=(4+x)2,

解得:x=4.5,

過點D′作D′F⊥CE于F,

∴D′F∥AC,

∴△ED′F∽△EAC,

,即 ,

解得:D′F= ,

∴SACE= AC×EC= ×4×(3+4.5)=15;SBED= BE×D′F= ×4.5× =

則S四邊形ACBD=SACE﹣SBED=15﹣ =10 ;

(ii)當∠D′BC=∠ACB=90°時,過點D′作D′E⊥AC于點E,

如圖3(ii)所示,

∴四邊形ECBD′是矩形,

∴ED′=BC=3,

在Rt△AED′中,根據(jù)勾股定理得:AE= = ,

∴S△AED′= AE×ED′= × ×3= ,S矩形ECBD=CE×CB=(4﹣ )×3=12﹣3 ,

則S四邊形ACBD=SAED+S矩形ECBD= +12﹣3 =12﹣


【解析】(1)矩形或正方形鄰角相等,滿足“等鄰角四邊形”條件;(2)AC=BD,理由為:連接PD,PC,如圖1所示,根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線,得到兩對角相等,利用等角對等角得到兩對角相等,進而確定出∠APC=∠DPB,利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等,利用全等三角形對應邊相等即可得證;(3)分兩種情況考慮:(i)當∠AD′B=∠D′BC時,延長AD′,CB交于點E,如圖3(i)所示,由S四邊形ACBD=SACE﹣SBED , 求出四邊形ACBD′面積;(ii)當∠D′BC=∠ACB=90°時,過點D′作D′E⊥AC于點E,如圖3(ii)所示,由S四邊形ACBD=SAED+S矩形ECBD , 求出四邊形ACBD′面積即可.此題屬于幾何變換綜合題,涉及的知識有:全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),垂直平分線定理,等腰三角形性質(zhì),以及矩形的判定與性質(zhì),熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關鍵.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角);相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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