【題目】四邊形ABCD為平行四邊形,AC為對角線,∠BAC60°,CEBF分別∠ACB、∠ABC的角平分線,CEBF相交于G;

1)求∠CGF的度數(shù);

2)求證:BE+CFBC

3)若BECF12,EG2,求平行四邊形ABCD的面積.

【答案】160°;(2)見解析;(3180

【解析】

1)由角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解;

2)在BC邊上截取CNCF,連接GN,由“SAS”可證△CGN≌△CG,可得∠CGN=∠CGF60°,可得∠BGN=∠BGE,由“ASA”可證△BGN≌△BGE,可得BEBN,可得結(jié)論;

3)設(shè)BEa,CF2a,AEc,AFb,由相似三角形的性質(zhì)列出方程組,求出,通過證明△ABF∽△GEB,可得,可求c的值,可得AB,AC,BC的值,即可求平行四邊形ABCD的面積.

解:(1)∵∠BAC60°,

∴∠ABC+ACB120°

CE、BF分別∠ACB、∠ABC的角平分線,

∴∠GBC+GCB×120°60°

∴∠BGC120°,

∴∠CGF60°;

故答案為:60°.

2)在BC邊上截取CNCF,連接GN,如圖所示:

在△CGN和△CGF中,

,

∴△CGN≌△CGFSAS),

∴∠CGN=∠CGF,GFGN

∵∠BGC120°,∠CGF60°,

∴∠BGN60°,∠EGF120°,

∴∠BGE360°120°120°60°60°

∴∠BGN=∠BGE,

在△BGN和△BGE中,

∴△BGN≌△BGEASA),

BEBNEGGN

EGGNGF

BCBN+CNBE+CF,

BE+CFBC;

3)如圖,延長CEDA交于點H,延長BFAD于點P,過點BBMACM,

BECF12

∴設(shè)BEa,CF2a

由(2)可知BCBE+CFa+2a3a,

∵四邊形ABCD是平行四邊形

ADBC

∴∠H=∠BCE,∠APB=∠FBC,

CE、BF分別∠ACB、∠ABC的角平分線

∴∠ACE=∠BCE,∠ABF=∠CBF

∴∠H=∠ACE,∠APB=∠ABF

AHAC,APAB,

設(shè)AEc,AFb

ABc+a,ACb+2a,

AHBC

∴△AHE∽△BCE

b+2a3c

AHBC

∴△APF∽△CBF

c+ab

由①②組成方程組

解得:

ABc,AC3c,

由(2)可知FGEG2

∵∠EGB=∠BAC60°,∠ABF=∠GBE,

∴△ABF∽△GEB

BG3,c8

a7b10

AB15,AC24BC21,

∵∠BAC60°BMAC

AMAB,BMAM

SABCD2SABC××24=180

故答案為:180.

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①∠FEB的大小是否改變,若不變,求出∠FEB的度數(shù);若改變,請用含α的式子表示).

②找出線段AFEF,BC的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.

3)如圖2,當(dāng)直線CPABC外側(cè),且<∠ACP45°時.若BC5,EF8,求CF的長.

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1BCD的大。

2求國旗桿BD的高度結(jié)果精確到1m參考數(shù)據(jù)sin22°≈0.37cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25

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