Question

【題目】設雙曲線與直線交于A，B兩點（點A在第三象限），將雙曲線在第一象限的一支沿射線BA的方向平移，使其經過點A，將雙曲線在第三象限的一支沿射線AB的方向平移，使其經過點B，平移后的兩條曲線相交于P，Q兩點，此時我們稱平移后的兩條曲線所圍部分（如圖中陰影部分）為雙曲線的“眸”，PQ為雙曲線的“眸徑”，當雙曲線的眸徑為9時，的值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

以 PQ 為邊，作矩形 PQQ’P’交雙曲線于點 P’、 Q′，聯立直線AB及雙曲線解析式成方程組，通過解方程組可求出點 A 、 B 的坐標，由 PQ 的長度可得出點 P 的坐標（點 P 在直線 y = - x 上找出點 P的坐標），由圖形的對稱性結合點 A 、B 和 P 的坐標可得出點 P’ 的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出關于 k 的一元一次方程，解之即可得出結論．

解：以 PQ 為邊，作矩形 PQQ’P’交雙曲線于點 P 、Q′，如圖所示．

聯立直線 AB 及雙曲線解析式成方程組

解得

則有點A的坐標為點B的坐標為

又PQ為9，求得點P坐標為

根據圖形的對稱性可知得到P’坐標為

將其代入雙曲線，

有

解得

故答案為