【題目】如圖,P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點(P與A、C不重合),點E在線段BC上,且PE=PB.
(1)求證:①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)設AP=x,△PBE的面積為y.
①求出y關于x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
②當x取何值時,y取得最大值,并求出這個最大值.
【答案】(1)①證明見解析,②證明見解析;
(2)①y=﹣x2+x.(0<x<);②當x=時,y最大值=.
【解析】試題分析:(1)可通過構建全等三角形來求解.過點P作GF∥AB,分別交AD、BC于G、F,那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PE⊥PD.在直角三角形AGP中,由于∠CAD=45°,因此三角形AGP是等腰直角三角形,那么AG=PG,而PB=PE,PF⊥BE,那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點可得出BF=FE=AG=PG,同理可得出兩三角形的另一組對應邊DG,PF相等,因此可得出兩直角三角形全等.可得出PD=PE,∠GDP=∠EPF,而∠GDP+∠GPD=90°,那么可得出∠GPD+∠EPF=90°,由此可得出PD⊥PE.(2)求三角形PBE的面積,就要知道底邊BE和高PF的長,(1)中已得出BF=FE=AG,那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG,GP即BF,FE的長,那么就知道了底邊BE的長,而高PF=CD-GP,也就可求出PF的長,可根據(jù)三角形的面積公式得出x,y的函數(shù)關系式.然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對應的x的取值.
試題解析:(1)①過點P作GF∥AB,分別交AD、BC于G、F.如圖所示:
∵四邊形ABCD是正方形,
∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形,
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°.
又∵PB=PE,
∴BF=FE,
∴GP=FE,
∴△EFP≌△PGD(SAS).
∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠DPE=90°.
∴PE⊥PD.
(2)解:①過P作PM⊥AB,
可得△AMP為等腰直角三角形,
四邊形PMBF為矩形,可得PM=BF,
∵AP=x,∴PM=x,
∴BF=PM=,PF=1﹣.
∴S△PBE=BE×PF=BFPF=x(1﹣x)=﹣x2+x.
即y=﹣x2+x.(0<x<).
②y=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+
∵a=﹣<0,
∴當x=時,y最大值=.
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【題目】閱讀下面材料:
如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.
觀察圖象可知:
①當x=﹣3或1時,y1=y2;
②當﹣3<x<0或x>1時,y1>y2,即通過觀察函數(shù)的圖象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有這樣一個問題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同學根據(jù)學習以上知識的經(jīng)驗,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進行了探究.
下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補充完整:
(1)將不等式按條件進行轉(zhuǎn)化:
當x=0時,原不等式不成立;
當x>0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1>;
當x<0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1<;
(2)構造函數(shù),畫出圖象
設y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象.
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標
觀察所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 ;
(4)借助圖象,寫出解集
結合(1)的討論結果,觀察兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為 .
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣bx+1(﹣1≤b≤1),當b從﹣1逐漸變化到1的過程中,它所對應的拋物線位置也隨之變動.下列關于拋物線的移動方向的描述中,正確的是( 。
A. 先往左上方移動,再往左下方移動 B. 先往左下方移動,再往左上方移動
C. 先往右上方移動,再往右下方移動 D. 先往右下方移動,再往右上方移動
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【題目】如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線,且B,C在AE的異側(cè),BD⊥AE于點D,CE⊥AE于點E.
(1)求證:BD=DE+CE;
(2)若直線AE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(BD<CE),其余條件不變,問BD與DE,CE的關系如何,請證明;
(3)若直線AE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3時(BD>CE),其余條件不變,BD與DE,CE的關系怎樣?請直接寫出結果,不須證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( 。
A. 三角形的三條高至少有一條在三角形內(nèi)
B. 直角三角形只有一條高
C. 三角形的角平分線其實就是角的平分線
D. 三角形的角平分線、中線、高都在三角形的內(nèi)部
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=12cm,C為AB延長線上一點,CP與⊙O相切于點P,過點B作弦BD∥CP,連接PD.
(1)求證:點P為的中點;
(2)若∠C=∠D,求四邊形BCPD的面積.
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