【題目】在△ABC中,AB = AC,在△ABC的外部作等邊三角形△ABD,E為AB的中點,連接 DE并延長交BC于點F.
(1)如圖1,若∠BAC = 90°,連接CD,求證:CD平分∠ADF;
(2)如圖2,過點A折疊∠CAD,使點C與點D重合,折痕AM交EF于點M,若點M正好在∠ABC的平分線上,連接BM并延長交AC于點N,課堂上兩個學習小組分別得出如下兩個結論:①∠BAC的度數(shù)是一個定值,為100°;②線段MN與NC一定相等.
請你選擇其中一個結論,判斷是否正確?若正確,給予證明:若不正確,說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一證DE⊥AB,再證AC//DE,得∠CDF=∠ACD,根據(jù)等邊對等角證∠ADC=∠ACD,等量代換即可證明.
(2)若選①,根據(jù)等腰三角形的三線合一求出DM垂直平分AB,得AM=BM,得∠BAM=∠ABM,設∠BAM=∠ABM=a,可根據(jù)條件表示出∠ACB,∠BAC,∠MAC,利用∠DAB=60°,∠DAM=∠CAM,列方程即可求出a的值,即可求解;若選②,連接MC,在①的基礎上求出∠MCN和∠NMC,即可判斷.
(1)∵△ABD是等邊三角形
∴AD=AB
∵AB=AC
∴.AD=AC
∴∠ADC=∠ACD
∵ E為AB的中點
∴DE⊥AB
∴∠BAC=90°
∴∠AED=∠BAC
∴AC//DE
∴∠CDF=∠ACD
∴∠ADC=∠CDF,即CD平分∠ADF
(2)若選①,正確.理由是:
在等邊△ABD中,∠BAD=60°
∵E為AB的中點,
∴DF垂直平分AB
∴AM-=BM
∴∠BAM=∠ABM
∵點M在∠ABC的平分線上
∴∠ABM=∠CBM
設∠BAM=∠ABM =a,則∠ABC=2a
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=2a
∴∠BAC=180°-4a
由折疊可知:∠DAM=∠CAM=60°+a
∴60°+a+a=180°-4a
∴a=20°
∴∠BAC =60°+20°+20°=100°
若選②,正確,理由是;
若接MC,根據(jù)題意得:∠ACM=∠ADM=×60°=30°
由①知,∠ACB=40°,∠NBC=20°
∠BCM=∠ACB -∠ACM=40°-30°=10°
∵∠NMC=∠NBC+∠BCM=30°
∴∠ACM=∠NMC
∴MN=NC.
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【題目】為評估九年級學生的學習成績狀況,以應對即將到來的中考做好教學調(diào)整,某中學抽取了部分參加考試的學生的成績,繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學生?
(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校九年級共有1000人參加了這次考試,請估算該校九年級共有多少名學生的學習成績達到優(yōu)秀.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AB⊥BD,sinA=,將ABCD放置在平面直角坐標系中,且AD⊥x軸,點D的橫坐標為1,點C的縱坐標為3,恰有一條雙曲線y=(k>0)同時經(jīng)過B、D兩點,則點B的坐標是_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦CD與直徑AB相交于點F.點E在⊙O外,作直線AE,且∠EAC=∠D.
(1)求證:直線AE是⊙O的切線.
(2)若∠BAC=30°,BC=4,cos∠BAD=,CF=,求BF的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,小剛同學按如下步驟作圖:
(1)以B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點E
(2)分別以點C.E為圓心,大于CE的長為半徑畫弧,兩弧在△ABC內(nèi)相交于點P
(3)連接BP,并延長交AC于點D
(4)連接DE
根據(jù)以上作圖步驟,有下列結論:①BD平分∠ABC; ②AD+DE = AC;③點P與點D關于直線CE對稱; ④△BCD與△BED關于直線BD對稱.
其中正確結論的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】為了豐富同學的課余生活,某學校將舉行“親近大自然”戶外活動,現(xiàn)隨機抽取了部分學生進行主題為“你最想去的景點是________”的問卷調(diào)查,要求學生只能從“A(綠博園),B(人民公園),C(濕地公園),D(森林公園)”四個景點中選擇一項,根據(jù)調(diào)查結果,繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
回答下列問題:
(1)本次共調(diào)查了多少名學生?
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該學校共有3 600名學生,試估計該校去濕地公園的學生人數(shù).
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【題目】(1)如圖1,線段OA的一個端點O在直線l上,且與直線l所成的銳角為50°,以OA為一邊畫等腰三角形,并且使另一個頂點P在直線l上,這樣的等腰三角形能畫 個.
(2)如圖1,如果OA與直線l所成的銳角為60°,以OA為一邊畫等腰三角形,并且使另一個頂點P在直線l上,這樣的等腰三角形能畫 個.
想一想:如圖2,△ABC中,∠A=20°,∠B=50°,過頂點C作一條直線,分割出一個等腰三角形這樣的直線最多可以畫 條.
算一算:如圖3,在△ABC中,∠BAC=20°,若存在過點C的一條直線,能把該三角形分成兩個等腰三角形,試求∠B的度數(shù).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知一次函數(shù)=的圖象經(jīng)過點A(1,0),與反比例函數(shù)=(>0)的圖象相交于點B(2,1).
(1)求的值和一次函數(shù)的解析式;
(2)結合圖象直接寫出:當>0時,不等式>的解集.
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【題目】某中學九(1)班為了了解全班學生喜歡球類活動的情況,采取全面調(diào)查的方法,從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調(diào)查了全班學生的興趣愛好,根據(jù)調(diào)查的結果組建了4個興趣小組,并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖①,②,要求每位學生只能選擇一種自己喜歡的球類),請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)九(1)班的學生人數(shù)為 ,并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中m= ,n= ,表示“足球”的扇形的圓心角是 度;
(3)排球興趣小組4名學生中有3男1女,現(xiàn)在打算從中隨機選出2名學生參加學校的排球隊,請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學生恰好是1男1女的概率.
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