Question

15．如圖，四邊形ACBE內(nèi)接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分別于點(diǎn)H、D．

（1）如圖①，求證：BD=BE；
（2）如圖②，若F是弧AC的中點(diǎn)，連接BF，交CD于點(diǎn)M，∠CMF=2∠CBF，連接FO、OC，求∠FOC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，連接OD，若BC=4$\sqrt{3}$，OD=7，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接半徑OB、OC、OE，由角平分線得：∠CAB=∠BAE，在同圓或等圓中，圓周角相等，則所對(duì)的圓心角也相等，得∠COB=∠BOE，所以所對(duì)的弦相等：BC=BE，證明△ACH≌△ADH，AB為線段CD的垂直平分線，得BC=BD，則BD=BE；
（2）由弧相等，所對(duì)的圓周角相等得：∠CBF=∠ABF，由已知中的∠CMF=2∠CBF，得∠BMH=2∠ABF，求得∠CBF=30°，所以∠FOC=2∠CBF=60°；
（3）如圖3，連接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，由（2）中的30°和BC=4$\sqrt{3}$分別求出：BH=$2\sqrt{3}$，CH=6，BM=4  HM=2，再證明△OMC≌△OMB，得∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，由DM=8可以求MK和DK的長(zhǎng)，由勾股定理列式求OK=1，OM=5，求出BN的長(zhǎng)，利用垂徑定理可得結(jié)論：BF=2BN=13．

解答 解：（1）如圖1，連接OB、OC、OE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE，
∴∠COB=∠BOE，
∴BC=BE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHA=∠DHA=90°，
∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴CH=DH，
∴AB為線段CD的垂直平分線，
∴BC=BD，
∴BD=BE；
（2）∵F是弧AC的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AF}=\widehat{CF}$，
∴∠CBF=∠ABF，
∵∠CMF=2∠CBF，
∴∠CMF=2∠ABF，
∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，
∴∠BMH+∠ABF=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠CBF=30°，
∵∠FOC=2∠CBF，
∴∠FOC=60°；
（3）如圖3，連接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，
由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，
∴CM=BM，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=$4\sqrt{3}$，
∴BH=$2\sqrt{3}$，CH=6，
在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=$2\sqrt{3}$，
∴BM=4  HM=2，
∴CM=BM=4，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OMC≌△OMB，
∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，
∵CH=DH=6，
∴DM=8，
在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，
∴MK=4，DK=$4\sqrt{3}$，
在Rt△OKD中，
OD²=OK²+DK²，
∵OD=7，DK=$4\sqrt{3}$，
∴OK=1，
∴OM=5，
在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，
MN=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{5}{2}$，
∴BN=BM+MN=$\frac{13}{2}$，
∵ON⊥BF，
∴BF=2BN=13．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題，此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況．要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．