【題目】我們定義:有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.
(1)已知:如圖1,四邊形ABCD是“等對角四邊形”,∠A≠∠C,∠A=75°,∠D=85°,則∠C= .
(2)已知:在“等對角四邊形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=4,AD=3.求對角線AC的長.
(3)已知:如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形ABCD是“等對角四邊形”,其中A(﹣2,0)、C(2,0)、B(﹣1,﹣),點D在y軸上,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過點A、D,且當(dāng)﹣2≤x≤2時,函數(shù)y=ax2+bx+c取最大值為3,求二次項系數(shù)a的值.
【答案】(1)115°;(2)AC的長為或;(3)a=﹣或﹣1﹣
【解析】
(1)∠B=∠D=85°,則∠C=360°-2×85°-75°=115°,即可求解;
(2)①如圖1,AE=8,DE=5,可求出,則AC可求出;②如圖2,同理可得BC=BF+CF,則由勾股定理可求出AC的長;
(3)由條件可得出∠ADC=∠ABC=90°,求得D(0,2),代入A,D兩點的坐標(biāo),可求出拋物線的解析式為y=ax2+(2a+1)x+2,分兩種情況考慮:在x=2時,函數(shù)y=ax2+(2a+1)x+2取得最大值為3,可求得,當(dāng)-2≤x≤2時,在頂點處取得最大值,可求出
解:(1)∠B=∠D=85°,則∠C=360°﹣2×85°﹣75°=115°,
故答案為115°;
(2)①如圖1,∠B=∠D=90°時,延長AD,BC交于點E,
∵∠DAB=60°,
∴∠E=30°,
又∵AB=4,AD=3
∴BE=4,AE=8,DE=5,
∴,
∴BC=BE﹣CE=4﹣,
∴==,
②如圖,∠A=∠C=60°時,過D分別作DE⊥AB于E,DF⊥BC于點F,
∵∠DAB=∠BCD=60°,
又∵AB=4,AD=3,
∴,DE=BF=,
∴,
∴,
∴BC=CF+BF=,
∴=,
綜合以上可得AC的長為或.
(3)∵A(﹣2,0)、C(2,0)、B(﹣1,﹣),
∴AB=2,BC=2,AC=4,
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠ABC=90°,
∵AD=CD,AB≠BC,
∴∠BAD≠∠BCD,
∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∴D(0,2)
∵拋物線y=ax2+bx+c過點A(﹣2,0)、D(0,2),
∴,
解得:c=2,b=2a+1,
∴拋物線的解析式為y=ax2+(2a+1)x+2,
若x=2時,函數(shù)y=ax2+(2a+1)x+2取得最大值為3,
∴4a+4a+2+2=3,
∴a=﹣,
此時拋物線的對稱軸為x=3,
∴滿足題意,
若二次函數(shù)y=ax2+(2a+1)x+2在頂點取得最大值3,則有:
,
解得:a=﹣1+或a=﹣1﹣,
當(dāng)a=﹣1+時,對稱軸在直線x=2的右側(cè),不合題意,舍去,
∴,
綜合以上可得a=﹣或﹣1﹣.
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【題目】小飛研究二次函數(shù)y=-(x-m)2-m+1(m為常數(shù))性質(zhì)時如下結(jié)論:①這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y=-x+1上;②存在一個m的值,使得函數(shù)圖象的頂點與軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形;③點A(x1,y1)與點B(x2,y2)在函數(shù)圖象上,若x1<x2,x1+x2>2m,則y1<y2;④當(dāng)-1<x<2時,y隨x的增大而增大,則m的取值范圍為m≥2其中錯誤結(jié)論的序號是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+b的圖象與直線y=x+2相交于點A(1,m),點B(n,0).
(1)求二次函數(shù)的解析式,并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo);
(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表,并在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點畫出該拋物線的圖象;
x | …… |
|
|
|
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| …… |
y | …… |
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|
| …… |
(3)畫出這兩個函數(shù)的圖象,并結(jié)合圖象直接寫出ax2+b>x+2時x的取值范圍.
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【題目】如圖,已知正方形OABC的面積為9,點O為坐標(biāo)原點,點A在x軸上,點C在y軸上,點B在函數(shù)y= (k>0,x>0)的圖象上,點P(m,n)是函數(shù)y= (k>0,x>0)的圖象上任一點,過點P分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E,F,并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S.
(1)求點B的坐標(biāo)和k的值;
(2)當(dāng)S=時,求點P的坐標(biāo);
(3)寫出S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式.
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【題目】若二次函數(shù)y=x2﹣2x+k的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0的解一個為x1=3,則方程x2﹣2x+k=0另一個解x2=_____.
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【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC邊上的點,點F在BC的延長線上,DE∥BC,若∠A=48°,∠1=54°,則下列正確的是( )
A. ∠2=48°B. ∠2=54°C. D.
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【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.阜陽市某家快遞公司,2017年3月份與5月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率?
(2) 如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成2017年6月份的快遞投遞任務(wù)?如果不能,請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為(l,1),點B在x軸正半軸上,點D在第三象限的雙曲線y=上,過點C作CE//x軸交雙曲線于點E,連接BE,則△BCE的面積為________.
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【題目】已知,在矩形ABCD中,連接對角線AC,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EFG,并將它沿直線AB向左平移,直線EG與BC交于點H,連接AH,CG.
(1)如圖①,當(dāng)AB=BC,點F平移到線段BA上時,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想;
(2)如圖②,當(dāng)AB=BC,點F平移到線段BA的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由;
(3)如圖③,當(dāng)AB=nBC(n≠1)時,對矩形ABCD進(jìn)行如已知同樣的變換操作,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想.
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