【題目】(1)閱讀理解:
如圖①,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.中線AD的取值范圍是___________;
(2)問題解決: 如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CF>EF;
(3)問題拓展:如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,以C為頂點(diǎn)作∠ECF,使得角的兩邊分別交AB,AD于E、F兩點(diǎn),連接EF,且EF=BE+DF,試探索∠ECF與∠A之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【答案】(1)1<AD<4;(2)證明見解析;(3)∠A+2∠ECF=180°,理由見解析.
【解析】
(1)延長AD到E,使DE=AD,連接BE,證△ADC≌△EDB,推出EB=AC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可;
(2)先利用ASA判定△BGD≌△CFD,從而得出BG=CF;再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD,再有DE⊥GF,從而得出EG=EF,兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF>EF;
(3)延長EB到G,使BG=DF,連接CG,通過SAS證明△CDF≌△CBG,得到CG=CF,∠BCG=∠DCF,再證明△CEF≌△CEG,得到∠ECF=∠EDG,由∠A+∠BCD=180°,通過等量代換即可得到∠A+2∠ECF=180°.
(1)延長AD到E,使AD=DE,連接BE,
∵AD是△ABC的中線,
∴BD=CD,
在△ADC與△EDB中,
,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴EB=AC,
∵AB=5,AC=3,
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得:AB-AC<AE<AC+AB,
∴2<AE<8,
∵AE=2AD
∴1<AD<4,
即:BC邊上的中線AD的取值范圍1<AD<4,
故答案為:1<AD<4;
(2)過點(diǎn)B作BG∥AC交FD的延長線于G,連接EG,
∴∠DBG=∠DCF.
∵D為BC的中點(diǎn),
∴BD=CD,
又∵∠BDG=∠CDF,
∴△BGD≌△CFD(ASA).
∴GD=FD,BG=CF,
又∵DE⊥DF,
∴EG=EF(垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等).
∴在△EBG中,BE+BG>EG,
即BE+CF>EF;
(3)∠A+2∠ECF=180°,理由如下:
延長EB到G,使BG=DF,連接CG,
∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,
∴∠D=∠CBG,
又∵CD=CB,DF=BG,
∴△CDF≌△CBG,
∴CF=CG,∠DCF=∠BCG,
∵EF=DF+BE,EG=BE+BG,DF=BG,
∴EF=EG,
又∵EC=EC,
∴△CEF≌△CEG,
∴∠ECF=∠ECG,
∵∠BCD=∠DCF+∠BCF,
∴∠BCD=∠BCF+∠BCG=∠FCG=∠ECF+∠ECG=2∠ECF,
∵∠D+∠A+∠ABC+∠BCD=360°,∠D+∠ABC=180°,
∴∠A+∠BCD=180°,
∴∠A+2∠ECF=180°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6cm,AC=8cm,以斜邊BC上距離B點(diǎn)6cm的點(diǎn)P為中心,把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF,則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形重疊部分的面積是_______cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l1:y=kx+b 經(jīng)過點(diǎn)A(﹣,0)和點(diǎn)B(2,5).
(1)求直線l1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)C(a,a+2)與點(diǎn)D在直線l1上,過點(diǎn)D的直線l2與x軸正半軸交于點(diǎn) E,當(dāng)AC=CD=CE 時(shí),求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于點(diǎn)E,且四邊形ABCD的面積為144,則BE________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABO中,斜邊AB=1,若OC∥BA,∠AOC=36°,則( 。
A. 點(diǎn)B到AO的距離為sin54°
B. 點(diǎn)A到OC的距離為sin36°sin54°
C. 點(diǎn)B到AO的距離為tan36°
D. 點(diǎn)A到OC的距離為cos36°sin54°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中小方格邊長為1,請你根據(jù)所學(xué)的知識解決下面問題.
(1)求網(wǎng)格圖中△ABC的面積.
(2)判斷△ABC是什么形狀?并所明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB、AC.
(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達(dá)式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo);
(4)如圖2,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)N作NM∥AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在中,,,于點(diǎn)D,,DG交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)E在BC的延長線上,且.
(1)求和的度數(shù);
(2)寫出圖中所有等腰三角形(不必證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊三角形△ABC邊長為a,等腰三角形△BDC中,∠BDC=120,∠MDN=60,角的兩邊分別交AB,AC于點(diǎn)M,N,連結(jié)MN.則△AMN的周長為( )
A.aB.2aC.3aD.4a
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