Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，，點D是AB上一點（點D與A，B不重合），連接CD．

（1）用尺規(guī)作圖，線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE交BC于點F，連接BE；（保留作圖痕跡，不寫作法．）

（2）當(dāng)AD＝BF時，求∠BEF的度數(shù)．

（3）求證：AD2+BD2＝2CD2．

Answer 1

【答案】（1）如圖，見解析；CE、BE為所作；（2）∠BEF＝67.5°；（3）見解析.

【解析】

(1)延長線段DC，以C為圓心,以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧交CD于兩點M、N.2)分別以兩點為圓心,以大于二分之一MN同樣長為半徑畫弧,兩弧交于P,作射線CP，以C為圓心，以CD長為半徑作弧，交射線CP與點E，連接BE即可.

（2）根據(jù)圓中，直徑對直角推導(dǎo)出，△ACB為等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，由此判斷呢△ACD≌△BCE，得到∠CBE＝∠A＝45°，再根據(jù)AD=BF推出∠BEF＝∠BFE，最后計算∠BEF的度數(shù)即可.

（3）根據(jù)勾股定理可得BE2+DB2＝DE2，根據(jù)題意和直角三角形的邊角關(guān)系可得BE＝AD，DE＝CD，然后換算解決即可.

（1）解：如圖，CE、BE為所作；

（2）解：∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵，

∴AC＝BC，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

∵線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，

∴∠DCE＝90°，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，

∵AD＝BF，

∴BF＝BE，

∴∠BEF＝∠BFE，

∴∠BEF＝（180°﹣45°）＝67.5°；

（3）證明：∵∠ABC＝45°，∠CBE＝45°，

∴∠DBE＝90°，

∴BE2+DB2＝DE2，

∵BE＝AD，DE＝CD，

∴AD2+BD2＝2CD2．