Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB＝26，P是AB上（不與點A，B重合）的任一點，點C，D為⊙O上的兩點．若∠APD＝∠BPC，則稱∠DPC為直徑AB的“回旋角”．

（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，則∠DPC是直徑AB的“回旋角”嗎？并說明理由；

（2）猜想回旋角”∠DPC的度數(shù)與弧CD的度數(shù)的關系，給出證明（提示：延長CP交⊙O于點E）；

（3）若直徑AB的“回旋角”為120°，且△PCD的周長為24+13，直接寫出AP的長．

Answer 1

【答案】（1）∠DPC是直徑AB的回旋角，理由見解析；（2）“回旋角”∠CPD的度數(shù)＝的度數(shù)，證明見解析；（3）3或23．

【解析】

（1）由∠BPC＝∠DPC＝60°結(jié)合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，進而可說明∠DPC是直徑AB的回旋角；

（2）延長CP交圓O于點E，連接OD，OC，OE，由“回旋角”的定義結(jié)合對頂角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圓的對稱性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠E＝∠C，進而可得出∠D＝∠C，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋角”∠CPD的度數(shù)＝的度數(shù)；

（3）①當點P在半徑OA上時，在圖3中，過點F作CF⊥AB，交圓O于點F，連接PF，則PF＝PC，利用（2）的方法可得出點P，D，F在同一條直線上，由直徑AB的“回旋角”為120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，進而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出∠CFD＝60°．連接OC，OD，過點O作OG⊥CD于點G，則∠COD＝120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，結(jié)合圓的直徑為26可得出CD＝13，由△PCD的周長為24+13，可得出DF＝24，過點O作OH⊥DF于點H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通過解直角三角形可得出OH，OP的值，再根據(jù)AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②當點P在半徑OB上時，用①的方法，可得：BP＝3，再根據(jù)AP＝AB﹣BP可求出AP的值．綜上即可得出結(jié)論．

（1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠APD＝∠BPC，

∴∠DPC是直徑AB的回旋角．

（2）“回旋角”∠CPD的度數(shù)＝的度數(shù)，理由如下：

如圖2，延長CP交圓O于點E，連接OD，OC，OE．

∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB，

∴∠APE＝∠APD．

∵圓是軸對稱圖形，

∴∠E＝∠D．

∵OE＝OC，

∴∠E＝∠C，

∴∠D＝∠C．

由三角形內(nèi)角和定理，可知：∠COD＝∠CPD，

∴“回旋角”∠CPD的度數(shù)＝的度數(shù)．

（3）①當點P在半徑OA上時，在圖3中，過點F作CF⊥AB，交圓O于點F，連接PF，則PF＝PC．

同（2）的方法可得：點P，D，F在同一條直線上．

∵直徑AB的“回旋角”為120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PFC是等邊三角形，

∴∠CFD＝60°．

連接OC，OD，過點O作OG⊥CD于點G，則∠COD＝120°，

∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，

∵AB=26，

∴OC=13，

∴

∴CD＝2×＝.

∵△PCD的周長為24+，

∴PD+PC+CD＝24+，

∴PD+PC＝DF＝24．

過點O作OH⊥DF于點H，則DH＝FH＝DF＝12．

在Rt△OHD中，OH＝,

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝2OH＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝13﹣10＝3；

②當點P在半徑OB上時，

同①的方法，可得：BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝26﹣3＝23．

綜上所述，AP的長為：3或23．