【題目】如圖,已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形,動點P,Q同時從B,A兩點出發(fā),分別沿BA,AC勻速運動,其中點P運動的速度是1cm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當(dāng)點Q到達(dá)點C時,P,Q兩點都停止運動,設(shè)運動時間為t(s),解答下列問題:
(1)如圖①,當(dāng)t為何值時,AP=3AQ;
(2)如圖②,當(dāng)t為何值時,△APQ為直角三角形;
(3)如圖③,作 QD∥AB交 BC于點D,連接PD,當(dāng)t為何值時,△BDP與△PDQ相似?
【答案】(1)(2)3或 (3)或2
【解析】
(1)由題意可知BP=t,AQ=2t,則AP=6-t由AP=3AQ可得到關(guān)于t的方程,可求得的值;
(2)分∠APQ=90和ΔAQP=90兩種情況,再利用含30角的直角三角形的性質(zhì)可和AP=2AQ,或AQ=2AP,分別求即可;
(3) 由已知可證得△CDQ 是等邊三角形,分△BPD∽△PDQ ,△BPQ ∽△QDP 兩種情況討論,可得t的值.
(1)由題意知,AQ=2t,BP=t,
∵△ABC 是邊長為 6cm 的等邊三角形,
∴∠A=60°,AB=6,
∴AP=AB﹣BP=6﹣t,
∵AP=3AQ,
∴6﹣t=3×2t,
∴t=,
即:t=秒時,AP=3AQ;
(2)由(1)知,∠A=60°,AQ=2t,AP=6﹣t,
∵△APQ 為直角三角形,
①當(dāng)∠APQ=90°時,AQ=2AP,
∴2t=2(6﹣t),
∴t=3 秒,
②當(dāng)∠AQP=90°時,AP=2AQ,
∴6﹣t=2×2t,
∴t=秒,
即:t=3 秒或秒時,△APQ 是直角三角形;
(3)由題意知,AQ=2t,BP=t,
∴AP=6﹣t,
∵△ABC 是等邊三角形,
∴∠A=∠C=60°,
∵QD∥AB,
∴∠PDQ=∠BPD,∠QDB=∠A=60°,
∴△CDQ 是等邊三角形,
∴CD=CQ,
∴BD=AQ=2t,
∵△BDP 與△PDQ 相似,
∴①當(dāng)△BPD∽△PDQ 時,
∴∠B=∠DPQ=60°,
∴∠APQ=∠BDP,
∵∠A=∠B,
∴△APQ∽△BDP,
∴,
∴,
∴t=秒,
②當(dāng)△BPQ ∽△QDP 時,
∴∠B=∠DQP=60°,
∵DQ∥AB,
∴∠APQ=DQP=60°,
∵∠A=60°,
∴△APQ 是等邊三角形,
∴AP=AQ,
∴6﹣t=2t,
∴t=2 秒,
即:t=秒或 2 秒時,△BDP 與△PDQ 相似.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境
小明和小麗共同探究一道數(shù)學(xué)題:
如圖①,在△ABC中,點D是邊BC的中點,∠BAD=65°,∠DAC=50°,AD=2,
求AC.
探索發(fā)現(xiàn)
小明的思路是:延長AD至點E,使DE=AD,構(gòu)造全等三角形.
小麗的思路是:過點C作CE∥AB,交AD的延長線于點E,構(gòu)造全等三角形.
選擇小明、小麗其中一人的方法解決問題情境中的問題.
類比應(yīng)用
如圖②,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,點O是BD的中點,
AB⊥AC.若∠CAD=45°,∠ADC=67.5°,AO=2,則BC的長為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC 中, ,D、E是斜邊BC上兩點,且∠DAE=45°,將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)90后,得到△,連接.列結(jié)論:
①△ADC≌△AFB;②△ ≌△;③△≌△;④
其中正確的是( )
A. ②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③
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【題目】校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點問題,安全隱患主要是超速和超載.某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組進(jìn)行了測試汽車速度的實驗,如圖,先在筆直的公路l旁選取一點A,在公路l上確定點B、C,使得AC⊥l,∠BAC=60°,再在AC上確定點D,使得∠BDC=75°,測得AD=40米,已知本路段對校車限速是50千米/時,若測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒,問這輛車在本路段是否超速?請說明理由(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015年全球葵花籽產(chǎn)量約為4200萬噸,比2014年上漲2.1%,某企業(yè)加工并銷售葵花籽,假設(shè)銷售量與加工量相等,在圖中,線段AB、折線CDB分別表示葵花籽每千克的加工成本y1(元)、銷售價y2(元)與產(chǎn)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系;
(1)請你解釋圖中點B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實際意義;
(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)解析式;
(3)當(dāng)0<x≤90時,求該葵花籽的產(chǎn)量為多少時,該企業(yè)獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD⊥DC,BD=DC,CE平分∠BCD,交AB于點E,交BD于點H,EN∥DC交BD于點N.下列結(jié)論:
①BH=DH;②CH=(+1)EH;③= . 其中正確的是( 。
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在邊BC上,連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AE,使得∠DAE=∠BAC,連接DE交AC于F,請寫出圖中一對相似的三角形:____(只要寫出一對即可).
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