Question

【題目】如圖，M為等腰△ABD的底AB的中點(diǎn)，過D作DC∥AB，連結(jié)BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)，在AB上勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q自點(diǎn)B出發(fā)，在折線BC﹣CD上勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為1cm/s，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t（s）時(shí)，△MPQ的面積為S（不能構(gòu)成△MPQ的動(dòng)點(diǎn)除外）．

（1）t（s）為何值時(shí)，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，t（s）為何值時(shí)，點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)；

（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

（4）當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出t為何值時(shí)，△MPQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜t≤5且t≠4（s）時(shí)，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)5≤t≤6（s）時(shí)，點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)；（2）當(dāng)0＜t＜4時(shí)S=﹣t2+；當(dāng)4＜t≤5時(shí)，S=t2﹣；當(dāng)5＜t≤6時(shí)，S=2t﹣8；（3）當(dāng)t=6時(shí)，S取到最大值，最大值為4；（4）當(dāng)t=秒時(shí)，△MPQ是等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，可以證到四邊形DCEM是矩形，從而可以求出的長，然后考慮不能構(gòu)成的情況，即可解決問題．
（2）由于點(diǎn)P在點(diǎn)M的兩邊時(shí)PM的表達(dá)式不同，點(diǎn)Q在線段BC和DC上時(shí)點(diǎn)Q到PM的距離的表達(dá)式不同，因此需分三種情況討論，如圖1、2、3所示，然后只需用t的代數(shù)式表示出PM及其邊上的高，就可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)對（2）中的三種情況進(jìn)行分析，即可解決問題．
（4）易證QM≠MP，QP≠MP.若是等腰三角形，只能是由 可得： 再由可得到關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程即可解決問題．

試題解析：(1)過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，如圖1，

∵DA=DB，AM=BM，

∴DM⊥AB.

∵CE⊥AB，

∴

∴CE∥DM.

∵DC∥ME,CE∥DM,

∴四邊形DCEM是矩形，

∴CE=DM=4，ME=DC=1.

∵AM=BM,AB=8,

∴AM=BM=4.

∴BE=BMME=3.

∵

∴CB=5.

∵當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，不能構(gòu)成△MPQ，

∴t≠4.

∴當(dāng)且t≠4(s)時(shí),點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng);當(dāng) (s)時(shí)，點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng).

(2)①當(dāng)0<t<4時(shí)，點(diǎn)P在線段AM上，點(diǎn)Q在線段BC上，

過點(diǎn)Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖1，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴

∴QF∥CE.

∴△QFB∽△CEB.

∴

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴

∴

∵PM=AMAP=4t，

∴

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段BM上，點(diǎn)Q在線段BC上，

過點(diǎn)Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖2，

∵QF⊥AB,CE⊥AB,

∴

∴QF∥CE.

∴△QFB∽△CEB.

∴

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴

∴

∵PM=APAM=t4，

∴

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段BM上，點(diǎn)Q在線段DC上，

過點(diǎn)Q作QF⊥AB，垂足為F，如圖3，

此時(shí)QF=DM=4.

∵PM=APAM=t4，

∴

綜上所述：當(dāng)0<t<4時(shí)當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)，S=2t8.

(3)①當(dāng)0<t<4時(shí),

∵ 0<2<4，

∴當(dāng)t=2時(shí),S取到最大值,最大值為

②當(dāng)時(shí), 對稱軸為x=2.

∵

∴當(dāng)x>2時(shí)，S隨著t的增大而增大，

∴當(dāng)t=5時(shí),S取到最大值,最大值為

③當(dāng)時(shí)，S=2t8.

∵2>0，

∴S隨著t的增大而增大,

∴當(dāng)t=6時(shí)，S取到最大值，最大值為2×68=4.

綜上所述：當(dāng)t=6時(shí)，S取到最大值，最大值為4.

(4)當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)即時(shí)，如圖3，

則有 ，即

∵MP=t4<64，即MP<2，

∴QM≠MP，QP≠MP.

若△MPQ是等腰三角形，則QM=QP.

∵QM=QP，QF⊥MP，

∴MF=PF=12MP.

∵MF=DQ=5+1t=6t，MP=t4，

∴

解得：

∴當(dāng)t=秒時(shí)，△MPQ是等腰三角形.