【題目】已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),OF⊥BC于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)E,AE與BC交于點(diǎn)H,點(diǎn)D為OE的延長線上一點(diǎn),且∠ODB=∠AEC.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)求證:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的直徑為5,sinA=,求BH的長.
【答案】(1)證明見試題解析;(2)證明見試題解析;(3).
【解析】試題分析:(1)由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC,再證出∠ABC+∠DBF=90°,即∠OBD=90°,即可得出BD是⊙O的切線;
(2)連接AC,由垂徑定理得出,得出∠CAE=∠ECB,再由公共角∠CEA=∠HEC,證明△CEH∽△AEC,得出對應(yīng)邊成比例,即可得出結(jié)論;
(3)連接BE,由圓周角定理得出∠AEB=90°,由三角函數(shù)求出BE,再根據(jù)勾股定理求出EA,得出BE=CE=6,由(2)的結(jié)論求出EH,然后根據(jù)勾股定理求出BH即可.
試題解析:(1)∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,∴∠ODB=∠ABC,
∵OF⊥BC,∴∠BFD=90°,∴∠ODB+∠DBF=90°,∴∠ABC+∠DBF=90°,
即∠OBD=90°,∴BD⊥OB,∴BD是⊙O的切線;
(2)連接AC,如圖1所示:
∵OF⊥BC,∴, ∴∠CAE=∠ECB,
∵∠CEA=∠HEC,∴△CEH∽△AEC,∴,∴CE2=EHEA;
(3)連接BE,如圖2所示:
∵AB是⊙O的直徑,∴∠AEB=90°,
∵⊙O的半徑為,sin∠BAE=,∴AB=5,BE=ABsin∠BAE=5×=3,∴EA==4,
∵,∴BE=CE=3,∵CE2=EHEA,∴EH=
∴在Rt△ BEH中,BH==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】初三年(4)班要舉行一場畢業(yè)聯(lián)歡會,主持人同時轉(zhuǎn)動下圖中的兩個轉(zhuǎn)盤,由一名同學(xué)在轉(zhuǎn)動前來判斷兩個轉(zhuǎn)盤上指針?biāo)傅膬蓚數(shù)字之和是奇數(shù)還是偶數(shù),如果判斷錯誤,他就要為大家表演一個節(jié)目;如果判斷正確,他可以指派別人替自己表演節(jié)目.現(xiàn)在輪到小明來選擇,小明不想自己表演,于是他選擇了偶數(shù).小明的選擇合理嗎?從概率的角度進(jìn)行分析(要求用樹狀圖或列表方法求解)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A=x3﹣2y3+3x2y+xy2﹣3xy+4,B=y3﹣x3﹣4x2y﹣3xy﹣3xy2+3,C=y3+x2y+2xy2+6xy﹣6,試說明對于x、y、z的任何值A(chǔ)+B+C是常數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時,四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;
(3)若D為AB中點(diǎn),則當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形?請說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:①相等的角是對頂角;②平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;③ 平行于同一條直線的兩條直線互相平行; ④同角或等角的余角相等,其中正確的說法有( )
A.4 個B.3 個C.2 個D.1 個
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