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【題目】

如圖1,拋物線經過A(1,0),B(7,0),D(0, 三點,以AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線x軸上方是否存在點M,使S△ABM =S△ABC,若存在,請求出點M坐標若不存在,請說明理由;

(3)如圖2,E是線段AC上的動點,F是線段BC上的動點,AF與BE相交于點P.

①若CE=BF,試猜想AF與BE的數量關系,請說明理由,并求出∠APB的度數;

②若AF=BE,當點E由A運動到C時,試求點P經過的路徑長.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2-2x+.(2)M1(9,4),M2(-1,4).(3)AF=BE,APB=120°

【解析】

試題分析:(1)先設出拋物線的解析式,然后將已知點的坐標代入求解即可;

(2)過點C作CKx軸,垂足為K.先求得三角形ABC的面積,從而得到ABM的面積,依據三角形的面積公式可求得點M的縱坐標為4,由點M在拋物線可知可知y=4,從而可求得對應的x的值,于是得到點M的坐標;

(3)先證明依據SASBEC≌△AFB,由全等三角形的性質可得到AF=BE,接下來證明FAB+ABP=ABC,最后依據三角形的內角和定理可求得APB的度數;如圖3所示:設所在圓的圓心為M,點H在圓M上,連接AM、BM、AH、BH,過點M作MGAB,垂足為G.依據圓的內角四邊形的性質和圓周角定理可求得AMB的長,接下來,依據等腰三角形三線合一的性質可得到AG=3,AMG=60°,然后依據特殊銳角三角函數值可求得AM的長,最后依據扇形的弧長公式求解即可;如圖4所示:當AE=BF時.依據SAS可證明AEB≌△BAF,從而得到PAB=PBA,故此可知點P在AB的垂直平分線上,最后依據特殊銳角三角函數求得CN的長即可.

試題解析:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+

將點A、B的坐標代入得:,解得:a=,b=-2,

拋物線的解析式為y=x2-2x+

(2)存在點M使得SAMB=SABC

如圖1所示:過點C作CKx軸,垂足為K.

∵△ABC為等邊三角形,

AB=BC=AC=6,ACB=60°

CKAB,

KA=BK=3,ACK=60°

CK=3

SABC=ABCK=×6×3=9

SABM=×9=12.

設M(x,x2-2x+).

AB|yM|=12,即×6×x2-2x+)=12.

解得x1=9,x2=-1.

M1(9,4),M2(-1,4).

(3)AF=BE,APB=120°

理由:如圖2所示;

∵△ABC為等邊三角形,

BC=AB,C=ABF.

BEC和AFB中

,

∴△BEC≌△AFB.

AF=BE,CBE=BAF.

∴∠FAB+ABP=ABP+CBE=ABC=60°

∴∠APB=180°-PAB-ABP=180°-60°=120°

如圖3所示:當CE=FB時.

可知:APB=120°,

點P的運動軌跡是一條弧.

所在圓的圓心為M,點H在圓M上,連接AM、BM、AH、BH,過點M作MGAB,垂足為G.

∵∠APB=120°,

∴∠AHB=60°

∴∠AMB=120°

AM=MB,MGAB,

AG=BG=3,AMG=BMG=60°

,即

AM=2

點P運動的路徑=

如圖4所示:當AE=BF時.

ABE和BAF中

,

∴△ABE≌△BAF.

AF=EB,FAB=EBA.

AP=BP.

點P在AB的垂直平分線上.

點P運動的路線=NC=3

點P經過的路徑長為或3

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(1)求拋物線的解析式;

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