Question

8．如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長線于點F，E為垂足，則結(jié)論：：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①根據(jù)BC=AC，∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt△ACD與Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出∠EAF=∠FBC，由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC，故可求出AD=BF；
②由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可直接得出結(jié)論；
③由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可知，CF=CD，故AC+CD=AC+CF=AF，∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt△AEF中，∠F=90°-∠EAF=67.5°，根據(jù)∠CAB=45°可知，∠ABF=180°-∠EAF-∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB，即AC+CD=AB；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=$\frac{1}{2}$BF，在Rt△BCF中，若BE=CF，則∠CBF=30°，與②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可解答．

解答 解：①∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAF=22.5°，
∵在Rt△ACD與Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，
∴∠EAF=∠FBC，
∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF，
∴Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴AD=BF；
故①正確；
②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，
故②正確；
③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，
∵∠CBF=∠EAF=22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F=90°-∠EAF=67.5°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ABF=180°-∠F-∠CAB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴AF=AB，即AC+CD=AB，
故③正確；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BF，
∵在Rt△BCF中，若BE=CF，則∠CBF=30°，與②中∠CBF=22.5°相矛盾，
故BE≠CF，
故④錯誤；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF=2BE，
故⑤正確．
所以①②③⑤四項正確．
故選C．

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．