Question

11．在正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，BE⊥PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE、BE、FA⊥AE交DP于點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)C．求證下列結(jié)論：
①FB=AB；  
②CF⊥EF，F(xiàn)C=EF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，證△ABE≌△ADF即可；取EF的中點(diǎn)M，連接AM，推出AM=MF=EM=DF，證∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM，利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）利用（1）中△ABM≌△FBM可得∠BAM=∠BFM，求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵正方形ABCD，BE⊥PD，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
在△ABE與△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠EBA=∠ADP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中點(diǎn)M，連接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
在△ABM與△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FM}\\{∠AMB=∠FMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△FBM（SAS），
∴AB=BF；

（2）∵△ABM≌△FBM，
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
在△BEF與△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBF=∠FDC}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴CF=EF且CF⊥EF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．