Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線與x 軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）（4分）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．

（2）（4分）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

（3）（4分）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

第24題圖

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Answer 1

(1)   ①B(1,0)             

(2)  

         ②y=           當x=0時，y＝2,  當y=0時，x=－4

         ∴ C(0,2),A(－4,0)         ∵拋物線y=ax²+bx+c過A(－4,0), B(1,0)

         ∴可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+4)(x－1)

         又∵拋物線過點C(0,2)      ∴2=－4a         ∴a=  

        ∴y=x²x+2            

       (2)設(shè)P（m,m²m+2).

         過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q

         ∴Q(m,m+2)

         ∴PQ=m²m+2－(m+2)

              =m²－2m

         ∵ =PQ4

                   =2PQ=－m²－4m=－(m+2)²+4

         ∴當m=－2時，ΔPAC的面積有最大值是4

           此時P（－2，3）                   

      

（3）在RtΔAOC中，tan∠CAO=       在RtΔBOC中，tan∠BCO=

     ∴∠CAO=∠BCO           ∵∠BCO+∠OBC=90°

     ∴∠CAO+∠OBC=90°      ∴∠ACB=90°

     ∴ ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO

        ① 當M點與C點重合，即M（0，2）時，ΔMAN∽ΔBAC 

        ② 根據(jù)拋物線的對稱性，當M(－3,2) 時，ΔMAN∽ΔABC   

        ③ 當點M在第四象限時，設(shè)M（n,n²n+2），則N(n,0)

          ∴ MN=n²+n－2 ,  AN=n+4

          當時，MN=AN       即n²+n－2=(n+4)

           

          n²+2n－8=0      ∴ n₁= －4(舍), n₂=2

          ∴M（2，－3）    

          當時，MN=2AN           n²+n－2=2(n+4)

           

          n²－n－20=0     ∴ n₁= －4(舍), n₂=5

          ∴M（5，－18）   

         

 綜上所述：存在M₁（0，2）,M₂(－3,2), M₃（2，－3）,M₄（5，－18）, 使得以點

           A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.