Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D，與x軸交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．下面五個(gè)結(jié)論：

①2a+b＝0；

②4a+2b+c＞0；

③對(duì)任意實(shí)數(shù)x，ax2+bx≥a+b；

④只有當(dāng)a＝時(shí)，△ABD是等腰直角三角形；

⑤使△ABC為等腰三角形的a值可以有3個(gè)．

其中正確的結(jié)論有_____．（填序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3確定出AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．

解：①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，

∴AB＝4，

∴對(duì)稱軸x＝﹣＝1，

即2a+b＝0；

故①正確，符合題意；

②由圖象看，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，

故②錯(cuò)誤，不符合題意；

③函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1，函數(shù)在x＝1時(shí)，取得最小值，

故ax2+bx+c≥a+b+c，

即ax2+bx≥a+b正確，符合題意；

④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長(zhǎng)的一半；

D到x軸的距離就是當(dāng)x＝1時(shí)y的值的絕對(duì)值．

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c，

即|a+b+c|＝2，

∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，

∴a+b+c＝﹣2，

又∵圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為﹣1，3，

∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)y＝0，即a﹣b+c＝0；

當(dāng)x＝3時(shí)，y＝0．

∴9a+3b+c＝0，

解這三個(gè)方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣，

故④正確，符合題意；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

當(dāng)AB＝BC＝4時(shí)，

∵AO＝1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

∴c＝﹣，

與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得a＝；

同理當(dāng)AB＝AC＝4時(shí)，

∵AO＝1，△AOC為直角三角形，

又∵OC的長(zhǎng)即為|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，

∴c＝﹣，

與2a+b＝0、a﹣b+c＝0聯(lián)立組成解方程組，解得a＝；

同理當(dāng)AC＝BC時(shí)

在△AOC中，AC2＝1+c2，

在△BOC中BC2＝c2+9，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程無解．

經(jīng)解方程組可知只有兩個(gè)a值滿足條件．

故⑤錯(cuò)誤．

故答案為：①③④．