Question

【題目】閱讀下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12=0這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x2=y，則x4=y2 ， ∴原方程可化為：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，當(dāng)y=3時(shí)，x2=3，x=± ，當(dāng)y=4時(shí)，x2=4，x=±2．∴原方程有四個(gè)根是：x1= ，x2=﹣ ，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用上述方法解答下列問題．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；
（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，試求a2+b2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)y=x2+x，則y2﹣5y+4=0，
整理，得
（y﹣1）（y﹣4）=0，
解得y1=1，y2=4，
當(dāng)x2+x=1即x2+x﹣1=0時(shí)，解得：x= ；
當(dāng)當(dāng)x2+x=4即x2+x﹣4=0時(shí)，解得：x= ；
綜上所述，原方程的解為x1 ， 2= ，x3 ， 4=
（2）解：設(shè)x=a2+b2 ， 則x2﹣3x﹣10=0，
整理，得
（x﹣5）（x+2）=0，
解得y1=5，y2=﹣2（舍去），
故a2+b2=5．
【解析】（1）利用換元的思想，把x2+x看做一個(gè)整體，先求出x2+x，再分別求出x的值；（2）利用換元法求出a2+b2后，可判斷a2+b20,所求出的負(fù)值要舍掉.