【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BE⊥AC,垂足為E,AF平分∠BAC,交BE于F,點D在AC上,且AD=AB.
(1)求證:DF=BF;
(2)求證:∠ADF=∠C.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)由角平分線的性質可得出∠DAF=∠BAF,結合AD=AB、AF=AF,即可證出△ADF≌△ABF(SAS),可得結論.
(2)由△ADF≌△ABF可得出∠ADF=∠ABF,根據三角形內角和定理通過角的計算可得出∠ABF=∠C,進而可得出∠ADF=∠C.
(1)△ADF≌△ABF.
證明:∵AK平分∠CAB,交線段BE于點F,
∴∠DAF=∠BAF.
在△ADF和△ABF中,
,
∴△ADF≌△ABF(SAS),
∴DF=BF.
(2)證明:∵△ADF≌△ABF,
∴∠ADF=∠ABF.
∵∠ABC=90°,BE⊥AC于點E,
∴∠BAE+∠ABF=∠BAC+∠C=90°,
∴∠ABF=∠C,
∴∠ADF=∠C.
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【題目】請閱讀下列材料:
問題:如圖,在正方形和平行四邊形中,點,,在同一條直線上,是線段的中點,連接,.
探究:當與的夾角為多少度時,平行四邊形是正方形?
小聰同學的思路是:首先可以說明四邊形是矩形;然后延長交于點,構造全等三角形,經過推理可以探索出問題的答案.
請你參考小聰同學的思路,探究并解決這個問題.
(1)求證:四邊形是矩形;
(2)與的夾角為________度時,四邊形是正方形.
理由:
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【題目】如圖,已知∠MON=40°,P為∠MON內一定點,OM上有一點A,ON上有一點B,當△PAB的周長取最小值時,∠APB的度數是_____°.
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【題目】如圖,在中,點、分別在、邊上,與相交,如果,,平分,那么下列三角形中不與相似的是( )
A. △ABD B. △ACD C. △AGH D. △CDH
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【題目】如圖,已知是邊長為的等邊三角形,動點、同時從、兩點出發(fā),分別沿、勻速運動,其中點運動的速度是,點運動的速度是,當點到達點時,、兩點都停止運動,設運動時間為,解答下
列問題:
當時,判斷的形狀,并說明理由;
設的面積為,求與的函數關系式;
作交于點,連接,當為何值時,.
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【題目】如圖①,∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處,∠QPN=α,∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F(點F與點C、D不重合).
(1)如圖①,當α=90°時,求證:DE+DF=AD.
(2)如圖②,將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形,其他條件不變,當α=60°時,(1)中的結論變?yōu)?/span> ,請給出證明.
(3)在(2)的條件下,將∠QPN繞點P旋轉,若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長線交于點E,其他條件不變,探究在整個運動變化過程中,DE,DF,AD之間滿足的數量關系,直接寫出結論,不用加以證明.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,正比例函數y=x的圖象與一次函數y=kx﹣k的圖象的交點坐標為A(m,2).
(1)求m的值和一次函數的解析式;
(2)設一次函數y=kx﹣k的圖象與y軸交于點B,求△AOB的面積;
(3)直接寫出使函數y=kx﹣k的值大于函數y=x的值的自變量x的取值范圍.
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