Question

【題目】四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．

如圖，求證：矩形是正方形；

若，，求的長度；

當(dāng)線段與正方形的某條邊的夾角是時(shí)，直接寫出的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；
（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形考慮問題即可.

作于，于，

∵，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴矩形是正方形；

如圖中，在中．，

∵，

∴，

∴點(diǎn)與重合，此時(shí)是等腰直角三角形，易知．

①當(dāng)與的夾角為時(shí)，，

②當(dāng)與的夾角為時(shí)，

綜上所述，或．