【題目】如圖1,射線OB與直線AN垂直于點O,線段OP在∠AOB內(nèi),一塊三角板的直角頂點與點P重合,兩條直角邊分別與AN、OB的交于點C、D.

(1)當∠POB=60°,∠OPC=30°,PC=2時,則PD=

(2)若∠POB=45°,

①當PC與PO重合時,PC和PD之間的數(shù)量關系是 ;

②當PC與PO不重合時,猜想PC與PD之間的數(shù)量關系,并證明你的結論.

【答案】(1)2 (2)①PC=PD;②PC=PD

【解析】(1)、作PE⊥AN于E,根據(jù)Rt△ECP的性質(zhì)得出EP的長度,然后根據(jù)Rt△OPE的性質(zhì)求出OP的長度,最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出答案;(2)、根據(jù)題意得出△PCD為等腰直角三角形,從而得出答案;作PE⊥AN于E,PF⊥OB于F,根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出△EPC和△FPD全等,從而得出答案.

(1)、作PE⊥AN于E,∵∠POB=60°,OB⊥AN,∴∠AOP=30°,又∠OPC=30°,

∴∠ECP=60°,∴EP=PCsin∠ECP=,∴OP=2EP=2,∵∠POB=60°,∠OPD=60°,

∴△POD是等邊三角形,∴PD=PO=2;

(2)、①當∠POB=45°時,∵三角板的直角頂點與點P重合,

∴PC與PO重合時,△PCD為等腰直角三角形, ∴PC=PD,

②PC=PD,理由如下:作PE⊥AN于E,PF⊥OB于F,∵AN⊥OB,PE⊥AN,PF⊥OB,

∴四邊形EOFP為矩形,∴∠EPF=90°,∴∠EPC=∠FPD,∵∠POB=45°,∴∠POA=45°,

∴OP平分∠EOF,又PE⊥AN,PF⊥OB,∴PE=PF,

在△EPC和△FPD中,, ∴△EPC≌△FPD, ∴PC=PD.

練習冊系列答案
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