Question

【題目】黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值。黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。這個(gè)比值，被稱(chēng)為黃金分割數(shù)。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚普及并做出重要貢獻(xiàn)的優(yōu)選法中有一種0.618法也應(yīng)用了黃金分割數(shù)。

定義：點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，若滿(mǎn)足AC2=BCAB，則稱(chēng)點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)(如圖1).

如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．

(1)求證：點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的黃金分割點(diǎn)；

（2）求出線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：對(duì)于（1），根據(jù)題意推出圖中多組相等的角，于是有△BCD∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊成比例；

通過(guò)推理可得圖中多個(gè)角的度數(shù)，于是有BC=BD、BD=AD，進(jìn)而得到BC=AD，利用黃金分割點(diǎn)的定義證得結(jié)論；

對(duì)于（2），根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義可知AD2=ACCD，把CD換為（AC﹣AD），再將已知AC=1代入該式求出AD的長(zhǎng)度.

解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°。

∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°。

∴AD=BD，BC=BD。

∴△ABC∽△BDC。

∴，即。

∴AD2=ACCD。

∴點(diǎn)D是線(xiàn)段AC的黃金分割點(diǎn)。

（2）由（1）AD2=ACCD，

即AD2=AC（AC﹣AD），AD2=1﹣AD，AD2+AD﹣1=0。

解得AD=（舍去負(fù)值）。

∴AD=。