Question

【題目】已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC上一點(diǎn)O為圓心的⊙O與BC相切于點(diǎn)C，與AC相交于點(diǎn)D．

（1）如圖1，若⊙O與AB相切于點(diǎn)E，求⊙O的半徑；

（2）如圖2，若⊙O在AB邊上截得的弦FG= ， 求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1) ⊙O的半徑為;(2) ⊙O的半徑為

【解析】

（1）由于AB和圓相切，所以連接OE，利用相似即可求出OE．
（2）已知弦長，求半徑，要做弦的弦心距，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出未知量．

解：（1）連接OE，

因?yàn)椤?/span>O與AB相切于點(diǎn)E，所以OE⊥AB，

設(shè)OE=x，則CO=x，AO=4﹣x，

∵⊙O與AB相切于點(diǎn)E，

∴∠AEO=90°，

∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，

∴Rt△AOE∽Rt△ABC，

∴，

∴，

解得：x=，

∴⊙O的半徑為．

（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，則H為FG的中點(diǎn)，FH=FG=，

連接OF，設(shè)OF=x，則OA=4﹣x，

由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=，

在Rt△OHF中，據(jù)勾股定理得：OF2=FH2+OH2 ，

∴x2=（）2+（）2 ，

解得x1=，x2=（舍去），

∴⊙O的半徑為．