【題目】已知,四邊形ABCD中,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D,點(diǎn)B在⊙O上,連接OB.

(1)求證:DE=OE;

(2)若CDAB,求證:BC是⊙O的切線;

(3)在(2)的條件下,求證:四邊形ABCD是菱形.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)先判斷出∠2+3=90°,再判斷出∠1=2即可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠3=COD=DEO=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠4=1,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CBO=CDO=90°,于是得到結(jié)論;

(3)先判斷出ABO≌△CDE得出AB=CD,即可判斷出四邊形ABCD是平行四邊形,最后判斷出CD=AD即可.

(1)如圖,連接OD,

CD是⊙O的切線,

ODCD,

∴∠2+3=1+COD=90°,

DE=EC,

∴∠1=2,

∴∠3=COD,

DE=OE;

(2)OD=OE,

OD=DE=OE,

∴∠3=COD=DEO=60°,

∴∠2=1=30°,

ABCD,

∴∠4=1,

∴∠1=2=4=OBA=30°,

∴∠BOC=DOC=60°,

CDOCBO中,,

∴△CDO≌△CBO(SAS),

∴∠CBO=CDO=90°,

OBBC,

BC是⊙O的切線;

(3)OA=OB=OE,OE=DE=EC,

OA=OB=DE=EC,

ABCD,

∴∠4=1,

∴∠1=2=4=OBA=30°,

∴△ABO≌△CDE(AAS),

AB=CD,

∴四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠DAE=DOE=30°,

∴∠1=DAE,

CD=AD,

ABCD是菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求通道斜面的長(zhǎng)為 ;

(2)為增加市民行走的舒適度,擬將設(shè)計(jì)圖中的通道斜面的坡度變緩,修改后的通道斜面的坡角為30°,求此時(shí)的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))

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(1)根據(jù)信息填表

產(chǎn)品種類

每天工人數(shù)(人)

每天產(chǎn)量(件)

每件產(chǎn)品可獲利潤(rùn)(元)

15

(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)多550元,求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn).

(3)該企業(yè)在不增加工人的情況下,增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品,要求每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等.已知每人每天可生產(chǎn)1件丙(每人每天只能生產(chǎn)一件產(chǎn)品),丙產(chǎn)品每件可獲利30元,求每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)W(元)的最大值及相應(yīng)的x值.

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【題目】某地特產(chǎn)檳榔芋深受歡迎,某商場(chǎng)以7元/千克收購(gòu)了3 000千克優(yōu)質(zhì)檳榔芋,若現(xiàn)在馬上出售,每千克可獲得利潤(rùn)3元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),近段時(shí)間內(nèi)檳榔芋的售價(jià)每天上漲0.2元/千克,為了獲得更大利潤(rùn),商家決定先貯藏一段時(shí)間后再出售.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),這批檳榔芋的貯藏時(shí)間不宜超過(guò)100天,在貯藏過(guò)程中平均每天損耗約10千克.

(1)若商家將這批檳榔芋貯藏x天后一次性出售,請(qǐng)完成下列表格:

每千克檳榔芋售價(jià)

(單位:元)

可供出售的檳榔芋重量

(單位:千克)

現(xiàn)在出售

3 000

x天后出售

(2)將這批檳榔芋貯藏多少天后一次性出售最終可獲得總利潤(rùn)29 000元?

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②順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形;

③順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形;

④順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形;

性質(zhì)探究

(2)如圖1,在鄰對(duì)等四邊形ABCD中,∠ABC=DCB,AC=DBABCD,求證:∠BAC與∠CDB互補(bǔ);

拓展應(yīng)用

(3)如圖2,在四邊形ABCD中,∠BCD=2B,AC=BC=5,AB=6,CD=4.在BC的延長(zhǎng)線上是否存在一點(diǎn)E,使得四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形?如果存在,求出DE的長(zhǎng);如果不存在,說(shuō)明理由.

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