【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸、y軸分別交于A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn).
(1)試求拋物線的解析式;
(2)P是直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn),設(shè)P的橫坐標(biāo)為t,P到BC的距離為h,求h與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出h的最大值.
(3)設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)N坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),
∴ ,解得 ,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)
解:過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,PH⊥BC于點(diǎn)H,連結(jié)PB、PC.
∵B(3,0)、C(0,3),
∴OB=OC=3, ,
設(shè)直線BC解析式為y=kx+n,則 ,解得 ,
∴直線BC解析式為y=﹣x+3,
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,且在拋物線y=﹣x2+2x+3上,
∴P(t,﹣t2+2t+3),
又∵PD⊥x軸于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,
∴D(t,0),E(t,﹣t+3),
∴PE=(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴ = ,
又∵ ,
∴ ,
∴h與t的函數(shù)關(guān)系式為: (0<t<3),
∵ ,
∴當(dāng) 時,h有最大值為
(3)
解:存在.
若AM為菱形對角線,則AM與CN互相垂直平分,
∴N(0,﹣3);
若CM為菱形對角線,則 ,
∴ 或 ;
若AC為菱形對角線,則CN=AM=CM,
設(shè)M(m,0),由CM2=AM2,得m2+32=(m+1)2,解得m=4,
∴CN=AM=CM=5,
∴N(﹣5,3).
綜上可知存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,符合條件的點(diǎn)N有4個:N1(0,﹣3), , ,N4(﹣5,3)
【解析】(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,PH⊥BC于點(diǎn)H,連結(jié)PB、PC,可先求得直線BC的解析式,則可用t分別表示出E的坐標(biāo),從而可表示出PE的長,再可用t表示出△PBC的面積,再利用等積法可用t表示出h,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得h的最大值;(3)分AM、CM和AC為對角線三種情況,分別根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖,點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),CD平分,CE平分,CD=CE.
(1)求證:
(2)若,求的度數(shù).
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【題目】已知線段AB,用尺規(guī)作∠ABC=90°,作法如下:
小明的作法:(1)分別以A、B為圓心AB長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P;(2)以P為圓心,AB長為半徑畫弧交AP的延長線于C;連接AC,則∠ABC=90° |
(1)請證明∠ABC=90°;
(2)請你用不同的方法,用尺規(guī)作∠ABC=90°.
(要求:保留作圖痕跡,不寫作法,并用2B鉛筆把作圖痕跡描粗)
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【題目】嘉淇準(zhǔn)備完成題目:化簡:,發(fā)現(xiàn)系數(shù)“”印刷不清楚.
(1)他把“”猜成3,請你化簡:(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2);
(2)他媽媽說:“你猜錯了,我看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果是常數(shù).”通過計算說明原題中“”是幾?
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【題目】如圖,一只小貓被關(guān)在正方形ABCD區(qū)域內(nèi),點(diǎn)O是對角線的交點(diǎn),∠MON=90°,OM、ON分別交線段AB、BC于M、N兩點(diǎn),則小貓停留在陰影區(qū)域的概率為.
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【題目】在甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參加“中華好詩詞”大賽,在相同的測試條件下,兩人5次測試成績(單位:分)如下: 甲:79,86,82,85,83
乙:88,79,90,81,72.
回答下列問題:
(1)甲成績的平均數(shù)是 , 乙成績的平均數(shù)是;
(2)經(jīng)計算知S甲2=6,S乙2=42.你認(rèn)為選拔誰參加比賽更合適,說明理由;
(3)如果從甲、乙兩人5次的成績中各隨機(jī)抽取一次成績進(jìn)行分析,求抽到的兩個人的成績都大于80分的概率.
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【題目】小明在海灣森林公園放風(fēng)箏.如圖所示,小明在A處,風(fēng)箏飛到C處,此時線長BC為40米,若小明雙手牽住繩子的底端B距離地面1.5米,從B處測得C處的仰角為60°,求此時風(fēng)箏離地面的高度CE.(計算結(jié)果精確到0.1米, ≈1.732)
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【題目】如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,射線OM平分∠AOC,ON⊥OM.
(1)若∠BOD=70°,求∠AOM和∠CON的度數(shù);
(2)若∠BON=50°,求∠AOM和∠CON的度數(shù).
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