Question

（1998•黃岡）如圖，直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（12，0），以AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D是拋物線與⊙P的第四個(gè)交點(diǎn)（除A、B、C三點(diǎn)以外），求直線MD的解析式；
（3）判定（2）中的直線MD與⊙P的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再把A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出此拋物線的解析式；
（2）由圓的對(duì)稱性和拋物線的對(duì)稱性可知C和D關(guān)于直線PM對(duì)稱，由C的坐標(biāo)即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線MD的解析式y(tǒng)=kx+b，把M，D的坐標(biāo)代入求出k和b的值即可；
（3）直線MD與⊙P的位置關(guān)系設(shè)直線DM和x軸交于E，連接PM則PM⊥OE，過(guò)P作PD′⊥ME于D′，設(shè)y=0，則y=

3

4

x-

51

4

=0，則可求出OE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出ME，在根據(jù)三角形的面積為定值可求出PD′的長(zhǎng)，和圓P的半徑比較大小即可判定（2）中的直線MD與⊙P的位置關(guān)系．

解答：解：（1）連接PC，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（12，0），
∴AB=15，
∴AP=BP=PC=7.5，
∴OP=7.5-3=4.5，
∴OC=

PC2-OP2

=6，
∴C（0，-6）
把A（-3，0），B（12，0），C（0，6）代入y=ax²+bx+c得：

C=-6 0=9a-3b+c 0=144a+12b+c

，
解得：

a= 1 6 b=- 3 2 c=-6

，
∴y=

1

6

x²-

3

2

x-6；

（2）∵y=

1

6

x²-

3

2

x-6=

1

6

（x-

9

2

）x²-

75

8

；
∴M（

9

2

，-

75

8

），
∵P是圓的圓心，
∴PM是圓的對(duì)稱軸，PM是拋物線的對(duì)稱軸，
∵C（0，-6），
∴D（9，-6），
設(shè)直線MD的解析式y(tǒng)=kx+b，把D（9，-6）和M（

9

2

，-

75

8

）代入得：

-6=9k+b - 75 8 = 9 2 k+b

，
解得：

k= 3 4 b=- 51 4

，
∴y=

3

4

x-

51

4

；

（3）設(shè)直線DM和x軸交于E，連接PM，則PM⊥OE，過(guò)P作PD′⊥ME于D′，
設(shè)y=0，則y=

3

4

x-

51

4

=0，
∴x=17，
∴OE=17，∴E（17，0），
∴PE=17-4.5=12.5，
∵PM=

75

8

，
∴ME=

PE2+PM2

=

125

8

，
∵

1

2

PM•PE=

1

2

PD′•EM，
∴PD′=

15

2

=7.5，
∴PD′等于圓的半徑，
∴直線MD與⊙P的位置關(guān)系是相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圓的性質(zhì)、切線的判定以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度不小．