Question

（1998•黃岡）如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，下列結論：①∠ABP=∠AOP；②

BC

=

DF

；③PC•PD=PE•PO．其中正確結論的個數(shù)有（　�。�

A．3個

B．2個

C．1個

D．0個

Answer 1

分析：根據(jù)切線的性質和切線長定理得到PA=PB，∠APE=∠BPE，∠PAO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質有AE⊥AB，∠PAB=∠PBA，再根據(jù)等角的余角相等得到∠PAB=∠AOP，所以
∠ABP=∠AOP；由OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理得弧AC=弧BC，而∠AOC=∠DOF，得到弧AC=弧DF，所以弧BC=弧DF；易證得Rt△PAE∽Rt△POA，則PA：PO=PE：AP，即PA²=PE•PO，
根據(jù)切割線定理有PA²=PC•PD，所以PC•PD=PE•PO．

解答：解：∵PA、PB是⊙O的兩條切線，
∴PA=PB，∠APE=∠BPE，∠PAO=90°，
∴AE⊥AB，∠PAB=∠PBA，
∴∠EAO+∠AOP=90°，而∠PAE+∠EAO=90°，
∴∠PAB=∠AOP，
∴∠ABP=∠AOP，所以①正確；
∵OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∵∠AOC=∠DOF，
∴弧AC=弧DF，
∴弧BC=弧DF，所以②正確；
∵∠APE=∠OPA，
∴Rt△PAE∽Rt△POA，
∴PA：PO=PE：AP，即PA²=PE•PO，
∵PA²=PC•PD，
∴PC•PD=PE•PO，所以③正確．
故選A．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了垂徑定理、三角形相似的判定與性質以及切割線定理．