【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣ x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B,以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC.

(1)若點C在反比例函數(shù)y= 的圖象上,求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)點P(2 ,m)在第一象限,過點P作x軸的垂線,垂足為D,當△PAD與△OAB相似時,P點是否在(1)中反比例函數(shù)圖象上?如果在,求出P點坐標;如果不在,請加以說明.

【答案】
(1)

解:在y=﹣ x+1中,令y=0可解得x= ,令x=0可得y=1,

∴A( ,0),B(0,1),

∴tan∠BAO= = = ,

∴∠BAO=30°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠BAC=60°,

∴∠CAO=90°,

在Rt△BOA中,由勾股定理可得AB=2,

∴AC=2,

∴C( ,2),

∵點C在反比例函數(shù)y= 的圖象上,

∴k=2× =2

∴反比例函數(shù)解析式為y=


(2)

解:∵P(2 ,m)在第一象限,

∴AD=OD﹣OA=2 = ,PD=m,

當△ADP∽△AOB時,則有 = ,即 = ,解得m=1,此時P點坐標為(2 ,1);

當△PDA∽△AOB時,則有 = ,即 = ,解得m=3,此時P點坐標為(2 ,3);

把P(2 ,3)代入y= 可得3≠

∴P(2 ,3)不在反比例函數(shù)圖象上,

把P(2 ,1)代入反比例函數(shù)解析式得1= ,

∴P(2 ,1)在反比例函數(shù)圖象上;

綜上可知P點坐標為(2 ,1)


【解析】(1)由直線解析式可求得A、B坐標,在Rt△AOB中,利用三角函數(shù)定義可求得∠BAO=30°,且可求得AB的長,從而可求得CA⊥OA,則可求得C點坐標,利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式;(2)分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO兩種情況,分別利用相似三角形的性質可求得m的值,可求得P點坐標,代入反比例函數(shù)解析式進行驗證即可.
【考點精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質的相關知識點,需要掌握一般地,一次函數(shù)y=kx+b有下列性質:(1)當k>0時,y隨x的增大而增大(2)當k<0時,y隨x的增大而減小才能正確解答此題.

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(1)求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式;
(2)點P是直線BD上的一個動點,過點P作x軸的垂線,交拋物線于點M,當點P在第一象限時,求線段PM長度的最大值;
(3)在拋物線上是否存在異于B、D的點Q,使△BDQ中BD邊上的高為2 ?若存在求出點Q的坐標;若不存在請說明理由.

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