Question

【題目】已知，如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，點D在邊BC上（不與點B、C重合），點E在邊BC的延長線上，∠DAE=∠BAC，點F在線段AE上，∠ACF=∠B．設(shè)BD=x．

（1）若點F恰好是AE的中點，求線段BD的長；
（2）若y= ，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（3）當△ADE是以AD為腰的等腰三角形時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC= ，

∴AC=6，AB=10，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠FAC=∠DAB，

∵∠ACF=∠B，

∴△ABD∽△ACF，

∴ ，

在Rt△ABC中，點F恰好是AE的中點，

∴CF= AE=AF，

∴AD=BD，

在Rt△ACD中，AC=6，CD=BC﹣BD=BC﹣AD=8﹣AD，

根據(jù)勾股定理得，AC2+CD2=AD2，

∴36+（8﹣AD）2=AD2，

∴AD= ，

∴BD=AD=

（2）

解：如圖1，過點F作FM⊥AC于M，

由（1）知，∴ = ，

∴CF= = ×x= x，

由（1）△ABD∽△ACF，

∴∠B=∠ACF，

∴tan∠ACF=tanB= = = ，

∴MC= x，

∴y= = = （0＜x＜8）

（3）

解：∵△ADE是以AD為腰的等腰三角形，

∴①當AD=AE時，

∴∠AED=∠ADE，

∵∠ACD=90°，

∴∠EAC=∠DAC=∠DAB，

∴AD是∠BAC的平分線，

∴ ，

∵AC=6，AB=10，CD=8﹣BD，

∴ ，

∴BD=5，

當AD=DE時，

∴∠DAE=∠DEA=∠BAC，

∴∠ADE=2∠B，

∴∠B=∠DAB，

∴AD=BD= （是（1）的那種情況）．

即：BD=5或BD= 時，△ADE是以AD為腰的等腰三角形．

【解析】（1）先判斷出△ABD∽△ACF，進而判斷出AD=BD，再用解直角三角形的方法即可得出BD；（2）先表示出CF，進而表示出MC，即可得出函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況列出方程求解即可得出結(jié)論．
【考點精析】利用三角形的外角和全等三角形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等．