Question

【題目】如圖1，平面內(nèi)有一點P到△ABC的三個頂點的距離分別為PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2則稱點P為△ABC關(guān)于點A的勾股點．

（1）如圖2，在4×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的長均為1，點A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的頂點上，則點D是△ABC關(guān)于點　 　的勾股點；在點E、F、G三點中只有點　 　是△ABC關(guān)于點A的勾股點．

（2）如圖3，E是矩形ABCD內(nèi)一點，且點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點，

①求證：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度數(shù)．

（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD內(nèi)一點，且點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點，

①若△ADE是等腰三角形，求AE的長；②直接寫出AE+BE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）B，F；（2）①見解析，②∠ADE＝40°；（3）①AE的長為或，②AE+BE.

【解析】

（1）求AD2＝5，DC2＝5，DB2＝10，得AD2+DC2＝DB2，即點D是△ABC關(guān)于點B的勾股點；求出FA2，FB2，FC2，得到FA2+FB2＝FC2，即點F是△ABC關(guān)于點A的勾股點．

（2）①由矩形性質(zhì)得∠ADC＝90°，可得AD2+DC2＝AC2；根據(jù)勾股數(shù)得BC2+EC2＝AC2，又因為AD＝BC，即得CE＝CD．

②設(shè)∠CED＝α，根據(jù)∠AEC＝120°和CE＝CD即∠ADC＝90°，可用α表示△ADE的三個內(nèi)角，利用三角形內(nèi)角和180°為等量關(guān)系列方程，即求出α進(jìn)而求出∠ADE．

（3）由條件“點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點”仍可得CE＝CD＝5，作為條件使用．①△ADE是等腰三角形需分3種情況討論，把每種情況畫圖再根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理計算，即能求AE的長．②由畫圖可知，當(dāng)BE⊥AC時，AE+BE取得最小值．過點E分別作AB、BC的垂線，通過勾股定理計算即可求出答案．

解：（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5

∴DB2＝DC2+DA2

∴點D是△ABC關(guān)于點B的勾股點

∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4

∴點E不是△ABC的勾股點

∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5

∴FA2＝FB2+FC2

∴點F是△ABC關(guān)于點A的勾股點

∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8

∴點G不是△ABC的勾股點

故答案為：B；F．

（2）①證明：∵點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點

∴CA2＝CB2+CE2

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°

∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2

∴CB2+CE2＝CB2+CD2

∴CE＝CD

②設(shè)∠CED＝α，則∠CDE＝∠CED＝α

∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α

∵∠AEC＝120°

∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α

∵DA＝DE

∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α

∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°

∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°

解得：α＝50°

∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°

（3）①∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6

∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5

∵點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點

∴CE＝CD＝5

i）如圖1，

若DE＝DA，則DE＝6

過點E作MN⊥AB于點M，交DC于點N

∴∠AME＝∠MND＝90°

∴四邊形AMND是矩形

∴MN＝AD＝6，AM＝DN

設(shè)AM＝DN＝x，則CN＝CD﹣DN＝5﹣x

∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2

∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2

∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2

解得：x＝

∴EN＝，AM＝DN＝

∴ME＝MN﹣EN＝6﹣

∴Rt△AME中，AE＝

ii）如圖2，

若AE＝DE，則E在AD的垂直平分線上

過點E作PQ⊥AD于點P，交BC于點Q

∴AP＝DP＝

AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90°

∴四邊形CDPQ是矩形

∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3

∴Rt△CQE中，EQ＝

∴PE＝PQ﹣EQ＝1

∴Rt△APE中，AE＝

iii）如圖3，

若AE＝AD＝6，則AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2

∴∠AEC＝90°

取AC中點O，則點A、B、C、D在以O為圓心、OA為半徑的⊙O上

∴點E也在⊙O上

∴點E不在矩形ABCD內(nèi)部，不符合題意

綜上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的長為或．

②當(dāng)BE⊥AC時，AE+BE取得最小值．

過點E分別作ER⊥AB于點R，ES⊥BC于點S,

∴四邊形BRES是矩形，∠EBS與∠ACB互余

∴∠EBS＝∠ACD

∴tan∠EBS＝tan∠ACD＝

∴tan∠EBS＝

設(shè)ES＝6a，BS＝5a，則BE＝，CS＝6﹣5a，AR＝5﹣6a

∵Rt△CES中，CS2+ES2＝CE2，即（6﹣5a）2+（6a）2＝52

解得：a1＝（舍去），a2＝，61a2﹣60a＝﹣11

∴Rt△ARE中，AE＝＝

∴AE+BE＝.