【題目】 如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),交y軸正半軸于C點(diǎn),D為拋物線的頂點(diǎn),A(-1,0),B(3,0).
(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)點(diǎn)P在x軸上,且∠PCB=∠CBD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在x軸上方拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得以Q,C,B,O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分?如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)P(6,0)或P;(3)存在,點(diǎn)Q或.
【解析】
(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入解析式求出b、c的值即可得;
(2)∠PCB=∠CBD有兩種情況,①P在B的右側(cè)時(shí),延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)H,由∠OCB=∠OBC=45°,可證明∠HCB=∠CBP,從而△PCB≌△HBC,由直線BD即可求得:OH=OP=6,從而得到P點(diǎn)坐標(biāo);②P在B的左側(cè)時(shí),此時(shí)PC∥BD,根據(jù)一次函數(shù)解析式即可求出P;
(3)分以下兩種情況分別求解,①點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時(shí),由OB=OC,可得出OQ是∠BOC的平分線,聯(lián)立二次函數(shù)解析式與直線OQ的解析式即可求解;②點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí),可得這條對(duì)角線只能是BQ,過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線EF,過(guò)點(diǎn)Q,B分別作EF的垂線,垂足分別為F,E,延長(zhǎng)FQ交x軸于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n),根據(jù)S△BOQ=S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC可得出關(guān)于m,n的關(guān)系式,再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立即可求解.
解:(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c得,
,解得,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3;
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)H,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,則
,解得,即直線BD的解析式為y=-2x+6,
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0,6),
∵OB=OC=3,∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴∠HCB=∠CBP=135°,
又∠PCB=∠CBD,BC=BC,
∴△PCB≌△HBC,
∴CH=PB,
∴OH=OB=6,
故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,0);
②當(dāng)點(diǎn)P(P′)在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),
直線BD的表達(dá)式為:y=-2x+6,
∵∠P′CB=∠CBD,則P′C∥BD,
則直線P′C的表達(dá)式為:y=-2x+3,
當(dāng)y=0,x=,故此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為,
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,0)或;
(3)存在.理由如下:①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時(shí),以Q,C,B,O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分,這條對(duì)角線只能是OQ,S△COQ=S△BOQ,如圖,
而OB=OC,故OQ是∠BOC的平分線,
即OQ的函數(shù)表達(dá)式為:y=x,
將y=x與y=-x2+2x+3聯(lián)立得,
-x2+2x+3=x,解得x=(舍去負(fù)值),
故此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,);
②當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí),以Q,C,B,O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分,這條對(duì)角線只能是BQ,S△BOQ=S△CBQ,如圖,過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線EF,過(guò)點(diǎn)Q,B分別作EF的垂線,垂足分別為F,E,延長(zhǎng)FQ交x軸于點(diǎn)G,則QG⊥x軸,BE=CO=3=FG,BO=CE=3,
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n),則QG=n,FQ=3-n,OG=FC=-m,
∴S△BOQ=×3×n,
S△CBQ=S梯形FQBE-S△FCQ-S△BEC=×(3-n+3)×(3-m)-×(-m)×(3-n)-×3×3=(9-3m-3n),
∴×3×n(9-3m-3n),即m+2n=3①,
又點(diǎn)Q在二次函數(shù)圖象上得,n=-m2+2m+3②,
聯(lián)立①②得,,解得(舍去),
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-,);
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=7,點(diǎn)P是邊AC上不與點(diǎn)A、C重合的一點(diǎn),作PD∥BC交AB邊于點(diǎn)D.
(1)如圖1,將△APD沿直線AB翻折,得到△AP'D,作AE∥PD.求證:AE=ED;
(2)將△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△AP'D',點(diǎn)P、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)P'、D',
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D'在△ABC內(nèi)部時(shí),連接P′C和D'B,求證:△AP'C∽△AD'B;
②如果AP:PC=5:1,連接DD',且DD'=AD,那么請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D'到直線BC的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有四張質(zhì)地完全相同的卡片,正面分別寫(xiě)有四個(gè)角度,現(xiàn)將這四張卡片洗勻后,背面朝上.
(1)若從中任意抽取--張,求抽到銳角卡片的概宰;
(2)若從中任意抽取兩張,求抽到的兩張角度恰好互補(bǔ)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D在二次函數(shù)圖象上,且,求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);
(3)將直線BC向下平移,與二次函數(shù)圖象交于M,N兩點(diǎn)(M在N左側(cè)),如圖2,過(guò)M作ME∥y軸,與直線BC交于點(diǎn)E,過(guò)N作NF∥y軸,與直線BC交于點(diǎn)F,當(dāng)MN+ME的值最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上不與A,B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出a,k,b的值及關(guān)于x的不等式ax2<kx﹣2的解集;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí),請(qǐng)求出△PAB面積的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在以P,Q,A,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四邊形 ABCD 中,對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn) O 的兩條直線分別交邊 AB、CD、AD、BC 于點(diǎn) E、F、G、H.
(感知)如圖①,若四邊形 ABCD 是正方形,且 AG=BE=CH=DF,則 S 四邊形AEOG= S 正方形 ABCD;
(拓展)如圖②,若四邊形 ABCD 是矩形,且 S 四邊形 AEOG=S 矩形 ABCD,設(shè) AB=a, AD=b,BE=m,求 AG 的長(zhǎng)(用含 a、b、m 的代數(shù)式表示);
(探究)如圖③,若四邊形 ABCD 是平行四邊形,且 AB=3,AD=5,BE=1, 試確定 F、G、H 的位置,使直線 EF、GH 把四邊形 ABCD 的面積四等分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,6),且與x軸相交于點(diǎn)B,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)求k、b的值;
(2)若點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上,且滿足S△COD=S△BOC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處,折痕為EF(點(diǎn)E,F分別在邊AC,BC上),給出以下判斷:①當(dāng)CD⊥AB時(shí),EF為△ABC的中位線;②當(dāng)四邊形CEDF為矩形時(shí),AC=BC;③當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△ABC相似;④當(dāng)△CEF與△ABC相似時(shí),點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).其中正確的是_____(把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市計(jì)劃在十二年內(nèi)通過(guò)公租房建設(shè),解決低收入人群的住房問(wèn)題.已知前7年,每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬(wàn)平方米)與時(shí)間x(第x年)的關(guān)系構(gòu)成一次函數(shù)(1≤x≤7且x為整數(shù)),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面積分別為和百萬(wàn)平方米;后5年每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬(wàn)平方米)與時(shí)間x(第x年)的關(guān)系是y=﹣x+(7<x≤12且x為整數(shù)).
(1)已知第6年竣工投入使用的公租房面積可解決20萬(wàn)人的住房問(wèn)題,如果人均住房面積,最后一年要比第6年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的公租房面積可解決多少萬(wàn)人的住房問(wèn)題?
(2)受物價(jià)上漲等因素的影響,已知這12年中,每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同,且第一年,一年38元/m2,第二年,一年40元/m2,第三年,一年42元/m2,第四年,一年44元/m2……以此類(lèi)推,分析說(shuō)明每平方米的年租金和時(shí)間能否構(gòu)成函數(shù),如果能,直接寫(xiě)出函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,假設(shè)每年的公租房當(dāng)年全部出租完,寫(xiě)出這12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)解析式,并求出W的最大值(單位:億元).如果在W取得最大值的這一年,老張租用了58m2的房子,計(jì)算老張這一年應(yīng)交付的租金.
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