Question

【題目】如圖所示，已知拋物線y＝ax2（a≠0）與一次函數(shù)y＝kx+b的圖象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上不與A，B重合的一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q是y軸上的一個動點(diǎn)．

（1）請直接寫出a，k，b的值及關(guān)于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時，請求出△PAB面積的最大值并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）是否存在以P，Q，A，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面積的最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐標(biāo)為：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得a，k，b的值，根據(jù)圖象即可得出不等式的解集；（2）過點(diǎn)A作y軸的平行線，過點(diǎn)B作x軸的平行線，兩者交于點(diǎn)C，連接PC．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣m2．過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．則D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），由此可得PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．再根據(jù)S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC，代入數(shù)據(jù)即可得S△APB與m的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)求最值的方法求得m的值及S△APB 的值最大．再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（3）（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可．

解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，

把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，

解得：，

所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，

關(guān)于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，

（2）過點(diǎn)A作y軸的平行線，過點(diǎn)B作x軸的平行線，兩者交于點(diǎn)C．

∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣m2．

過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．則D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），

∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．

∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC

＝

＝

＝．

∵＜0，，﹣1＜m＜2，

∴當(dāng)時，S△APB 的值最大．

∴當(dāng)時，，S△APB＝，

即△PAB面積的最大值為，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）

（3）存在三組符合條件的點(diǎn)，

當(dāng)以P，Q，A，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，

∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），

可得坐標(biāo)如下：

①P′的橫坐標(biāo)為﹣3，代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；

②P″的橫坐標(biāo)為3，代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；

③P的橫坐標(biāo)為1，代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．

故：P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），

Q的坐標(biāo)為：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．