Question

如圖，二次函數(shù)y＝a(x²－2mx－3m²)（其中a，m是常數(shù)，且a>0，m>0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．

(1)用含m的代數(shù)式表示a.

(2)求證：為定值.

(3)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，連接GF，以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：將點(diǎn)C（0，－3）的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=a（x²－2mx－3m²），

則－3=a（0－0－3m²），

解得 a=.

（2）證明：如圖，

過點(diǎn)D，E分別作x軸的垂線，垂足為M，N．

由a（x²－2mx－3m²）=0，

解得 x₁=－m，x₂=3m，

∴ A（－m，0），B（3m，0）．

∵ CD∥AB，

∴ 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，－3）．

∵ AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN.

∵ ∠DMA=∠ENA=90°，

∴ △ADM∽△AEN．

∴_.

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ，

∴=，

∴ x=4m，∴ E（4m，5）.

∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴ ，即為定值．

（3）解：如圖所示，

記二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，－4），

過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H．

連接FC并延長，與x軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G．

∵ tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，

∴ OG=3m．

此時(shí)，GF===4，

AD===3，∴=．

由（2）得=，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，

∴ 以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，

此時(shí)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3m．