Question

【題目】己知：如圖1，⊙O的半徑為2， BC是⊙O的弦，點(diǎn)A是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)。

圖1 圖2

（1）當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)A位置（尺規(guī)作圖只保留作圖痕跡, 不需要寫(xiě)作法）；

（2）如圖2，在滿(mǎn)足（1）條件下，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD并延長(zhǎng)交AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若∠BAC=45° ,求AC2+CE2的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）16.

【解析】

（1）作BC的垂直平分線交優(yōu)弧BC于A，則點(diǎn)A滿(mǎn)足條件；
（2）利用圓周角定理得到∠ACD=90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠CDE=∠BAC=45°，通過(guò)判斷△DCE為等腰直角三角形得到CE=CD，然后根據(jù)勾股定理得到AC2+CE2=AC2+CD2=AD2．

解：（1）如圖1，點(diǎn)A為所作；

（2）如圖2，連接CD，

∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠CDE=∠BAC=45°，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∴AC2+CE2=AC2+CD2=AD2=42=16．