Question

【題目】閱讀下列材料，解答后面的問題：

材料：求代數(shù)式x2－2x＋5的最小值．

小明同學的解答過程：x2－2x＋5＝x2－2x＋1－1＋5＝(x－1)2＋4

我們把這種解決問題的方法叫做“配方法”．

(1)請按照小明的解題思路，寫出完整的解答過程；

(2)請運用“配方法”解決問題：

①若x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，求y－x的立方根；

②分解因式：4x4＋1．

Answer 1

【答案】(1)4；(2)①-2；②(2x2＋2x＋1)(2x2－2x＋1)．

【解析】

(1)根據(jù)配方法的結果，得到即可求出代數(shù)式x2－2x＋5的最小值.

(2) ①將x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，變形為(x－3)2＋(y＋5)2＝0，根據(jù)非負數(shù)的性質得到x－3＝0且y＋5＝0，求出的值，進而求解.

②將4x4＋1加上4x2再減去4x2，即4x4＋1＝4x4＋4x2＋1－4x2＝(2x2＋1)2－(2x)2，用平方差公式進行因式分解即可.

解：(1) x2－2x＋5＝x2－2x＋1－1＋5＝(x－1)2＋4，

代數(shù)式x2－2x＋5的最小值是4；

(2)①∵x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，

∴x2－6x＋9＋y2＋10y＋25＝0，即(x－3)2＋(y＋5)2＝0，

∵(x－3)2≥0，(y＋5)2≥0，

∴x－3＝0且y＋5＝0，即x＝3，y＝－5，

∴y－x＝－5－3＝－8，

∴y－x的立方根是；

②4x4＋1＝4x4＋4x2＋1－4x2＝(2x2＋1)2－(2x)2

＝(2x2＋2x＋1)(2x2－2x＋1)．