Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（5，4），⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)．

（1）則點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是A（ ，　 ），B（ ，　 ），C（　 ，　 ）；
（2）設(shè)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=（x﹣5）2+k，它的頂點(diǎn)為E，求證：直線EA與⊙M相切；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2；0；8；0；0；4
（2）

證明：把點(diǎn)A（2，0）代入拋物線y=（x﹣5）2+k，

得：k=﹣，

∴E（5，﹣），

∴DE=，

∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，

∵M(jìn)A2+EA2=52+=，ME2=，

∴MA2+EA2=ME2，

∴∠MAE=90°，

即EA⊥MA，

∴EA與⊙M相切；

（3）

解：存在；點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：

由勾股定理得：BC=，

分三種情況：

①當(dāng)PB=PC時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，點(diǎn)P與M重合，

∴P（5，4）；

②當(dāng)BP=BC=4時(shí)，如圖2所示：

∵PD===，

∴P（5，）；

③當(dāng)PC=BC=4時(shí)，連接MC，如圖3所示：

則∠PMC=90°，

根據(jù)勾股定理得：PM=，

∴PD=4+，

∴P（5，4+）；

綜上所述：存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，4），或（5，），或（5，4+）．

【解析】（1）連接MC、MA，由切線的性質(zhì)得出MC⊥y軸，MC=MA=5，OC=MD=4，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）把點(diǎn)A（2，0）代入拋物線得出k=﹣，得出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)，得出DE、ME，由勾股定理得出EA2=，證出MA2+EA2=ME2 ， 由勾股定理的逆定理證出∠MAE=90°，即可得出EA與⊙M相切；
（3）由勾股定理求出BC，分三種情況：①當(dāng)PB=PC時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，點(diǎn)P與M重合，容易得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)BP=BC=4時(shí)，由勾股定理求出PD，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③當(dāng)PC=BC=4時(shí)，由勾股定理求出PM，得出PD，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．