Question

3．如圖1，△ABC中，以BC為直徑的⊙O分別與AB、AC交于F、D，過D作DE⊥AB于E，且AE=FE
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如圖2，連OE．若OE=2$\sqrt{14}$，BC=12，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接DF，BD，OD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠AFD，推出AB=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD∥AB，于是得到結(jié)論；
（2）連接DF，BD，OD，根據(jù)勾股定理得到DE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD²=12AE，由勾股定理得到AD²=AE²+DE²=AE²+20，得到方程AE²+20=12AE，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接DF，BD，OD，
∵DE⊥AB于E，且AE=FE，
∴AD=DF，
∴∠A=∠AFD，
∵∠AFD=∠C，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC，
∵BC是⊙O的直徑，
∴BD⊥AC，
∴AD=CD，
∵BO=CO，
∴OD∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）連接DF，BD，OD，
∵BC=12，
∴OD=6，
∵∠ODE=90°，
∴DE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠A=∠C，∠AED=∠BDC=90°，
∴△ADE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AD}{BC}$，
∵AD=CD，
∴AD²=12AE，
∵AD²=AE²+DE²=AE²+20，
∴AE²+20=12AE，
∴AE=2，AE=10（不合題意，舍去），
∴AE=2．

點評 本題考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．