【題目】如圖,拋物線y1=2+bx+c與x軸交于點A、B,交y軸于點C(0,﹣2),且拋物線對稱軸x=﹣2交x軸于點D,E是拋物線在第3象限內(nèi)一動點.
(1)求拋物線y1的解析式;
(2)將△OCD沿CD翻折后,O點對稱點O′是否在拋物線y1上?請說明理由.
(3)若點E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸上,過E′作x軸的垂線交拋物線y1于點F,①求點F的坐標(biāo);②直線CD上是否存在點P,使|PE﹣PF|最大?若存在,試寫出|PE﹣PF|最大值.
【答案】(1)拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;(2)O點對稱點O′不在拋物線y1上,理由見解析;(3)①F(2,6﹣2);②直線CD上存在點P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2.
【解析】試題分析:(1)先由拋物線對稱軸方程可求出b=2,再把點C(0,﹣2)代入y1=x2+bx+c可得c=2,所以拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;
(2)過O′點作O′H⊥x軸于H,如圖1,由(1)得D(﹣2,0),C(0,2),在Rt△OCD中利用三角函數(shù)可計算出∠ODC=60°,再利用折疊的性質(zhì)得O′D=OD=2,∠O′DC=∠ODC=60°,所以∠O′DH=60°,接著在Rt△O′DH中利用三角函數(shù)可計算出O′H=,利用勾股定理計算出DH=1,則O′(﹣3,﹣),然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征判斷O′點是否在拋物線y1上;
(3)①利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征設(shè)E(m, m2+2m﹣2)(m<0),過E作EH⊥x軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣m,EH=﹣m2﹣2m+2,由(2)得∠ODC=60°,再利用軸對稱性質(zhì)得DC平分∠EDE′,DE=DE′,則∠EDE′=120°,所以∠EDH=60°,于是在Rt△EDH中利用三角函數(shù)的定義可得﹣m2﹣2m+2=(﹣2﹣m),解得m1=2(舍去),m2=﹣4,則E(﹣4,﹣2),接著計算出DE=4,所以DE′=4,于是得到E′(2,0),然后計算x=2時得函數(shù)值即可得到F點坐標(biāo);
②由于點E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸,則PE=PE′,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點P、E′F共線時,取等號),于是可判斷直線CD上存在點P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2.
試題解析:(1)∵拋物線對稱軸x=﹣2,
∴﹣=﹣2,
解得b=2,
∵點C(0,﹣2)在拋物線y1=x2+bx+c上,
∴c=2,
∴拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;
(2)O點對稱點O′不在拋物線y1上.理由如下:
過O′點作O′H⊥x軸于H,如圖1,由(1)得D(﹣2,0),C(0,2),
在Rt△OCD中,∵OD=2,OC=,
∴tan∠ODC==,
∴∠ODC=60°,
∵△OCD沿CD翻折后,O點對稱點O′,
∴O′D=OD=2,∠O′DC=∠ODC=60°,
∴∠O′DH=60°,
在Rt△O′DH中,sin∠O′DH=,
∴O′H=2sin60°=,
∴DH==1,
∴O′(﹣3,﹣),
∵當(dāng)x=﹣3時,y1=x2+2x﹣2=×9+2×(﹣3)﹣2≠﹣,
∴O′點不在拋物線y1上;
(3)①設(shè)E(m, m2+2m﹣2)(m<0),
過E作EH⊥x軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣m,EH=﹣(m2+2m﹣2)=﹣m2﹣2m+2,
由(2)得∠ODC=60°,
∵點E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸上,
∴DC垂直平分EE′,
∴DC平分∠EDE′,DE=DE′,
∴∠EDE′=120°,
∴∠EDH=60°,
在Rt△EDH中,∵tan∠EDH=,
∴EH=HDtan60°,即﹣m2﹣2m+2=(﹣2﹣m),
整理得m2+(4+2)m﹣8=0,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,
∴E(﹣4,﹣2),
∴HD=2,EH=2,
∴DE==4,
∴DE′=4,
∴E′(2,0),
而E′F⊥x軸,
∴F點的橫坐標(biāo)為2,
當(dāng)x=2時,y1=x2+2x﹣2=6﹣2,
∴F(2,6﹣2);
②∵點E關(guān)于直線CD的對稱點E′恰好落在x軸,
∴PE=PE′,
∴|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點P、E′F共線時,取等號),
∴直線CD上存在點P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2.
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【題目】如圖,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB = 90 °,過點 C 的直線 MN ∥ AB , D 為 AB 邊上一點,過點 D 作 DE ⊥ BC ,交直線 MN 于 E ,垂足為 F ,連接 CD 、 BE .(1)求證: CE = AD ;(2)當(dāng) D 在 AB 中點時,四邊形 BECD 是什么特殊四邊形?說明你的理由.
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【題目】某校學(xué)生會文藝部換屆選舉,經(jīng)初選、復(fù)選后,共有 甲、乙、丙三人進入最后的競選.最后決定利用投票方式對三人進行選舉,共發(fā)出1800張選票,得票數(shù)最高者為當(dāng)選人,且廢票不計入任何一位候選人的得票數(shù)內(nèi),全校設(shè)有四個投票箱,目前第一、第二、第三投票箱已開完所有選票,剩下第四投票箱尚未開箱,結(jié)果如表所示(單位:票) 下列判斷正確的是( )
A. 甲可能當(dāng)選 B. 乙可能當(dāng)選 C. 丙一定當(dāng)選 D. 甲、乙、丙三人都可能當(dāng)選
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【題目】某種計時“香篆”在0:00時刻點燃,若“香篆”剩余的長度h(cm)與燃燒的時間x(h)之間是一次函數(shù)關(guān)系,h與x的一組對應(yīng)數(shù)值如表所示:
燃燒的時間x(h) | … | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
剩余的長度h(cm) | … | 210 | 200 | 190 | 180 | … |
(1)寫出“香篆”在0:00時刻點然后,其剩余的長度h(cm)與燃燒時間x(h)的函數(shù)關(guān)系式,并解釋函數(shù)表達式中x的系數(shù)及常數(shù)項的實際意義;
(2)通過計算說明當(dāng)“香篆”剩余的長度為125cm時的時刻.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N,點P在AB的延長線上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求證:直線CP是⊙O的切線;
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求⊙O的半徑及△ACP的周長.
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【題目】已知在數(shù)軸上 A,B 兩點對應(yīng)數(shù)分別為﹣4,20.
(1)若 P 點為線段 AB 的中點,求 P 點對應(yīng)的數(shù).
(2)若點 A、點 B 同時分別以 2 個單位長度/秒的速度相向運動,點 M(M 點在原點)同時以 4 個單位長度/秒的速度向右運動.幾秒后點 M 到點 A、點 B 的距離相等?求此時 M 對應(yīng)的數(shù).
(3)在(2)的條件下,是否存在 M 點,使 3MA=2MB?若存在,求出點 M 對應(yīng)的數(shù);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BE:AB=3:5,若CE=,cos∠ACD=.
(1)求cos∠ABC;
(2)AC的值.
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【題目】如圖,在,,,垂足為,點是邊上的一個動點,連接,過點作,交的延長線于點,連接交于點.
(1)請根據(jù)題意補全示意圖;
(2)當(dāng)與全等時,
①若,,,求的度數(shù);
②試探究,,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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【題目】一次函數(shù)y=﹣kx+k與反比例函數(shù)y=﹣(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是( 。
A. B. C. D.
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