【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC為直徑,弧AE=BD,BEDCDC的延長線于點E.

(1)求證:∠1=BCE;

(2)求證:BE是⊙O的切線;

(3)若EC=1,CD=3,求cosDBA.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

(1)過點BBF⊥AC于點F,△ABF≌△DBE(AAS),得BF=BE,BE⊥DC,BF⊥AC,所以,∠1=∠BCE;(2)連接BO,證∠BAC=∠EBC,由OA=OB,∠BAC=∠OBA,∠EBC=∠OBA,所以,∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°,根據(jù)切線的判定得出即可;(3)由(2)可知:∠EBC=∠CBF=∠BAC,△EBC≌△FBC(AAS),得CF=CE=1,由(1)可知:AF=DE=4,AC=CF+AF=5,cos∠DBA=cos∠DCA==.

(1)過點BBF⊥AC于點F,

在△ABF與△DBE中,

∴△ABF≌△DBE(AAS)

∴BF=BE,

∵BE⊥DC,BF⊥AC,

∴∠1=∠BCE

(2)連接OB,

∵AC是⊙O的直徑,

∴∠ABC=90°,即∠1+∠BAC=90°,

∵∠BCE+∠EBC=90°,且∠1=∠BCE,

∴∠BAC=∠EBC

∵OA=OB,

∴∠BAC=∠OBA,

∴∠EBC=∠OBA,

∴∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°,

∴BE是⊙O的切線

(3)由(2)可知:∠EBC=∠CBF=∠BAC,

在△EBC與△FBC中,

∴△EBC≌△FBC(AAS)

∴CF=CE=1

由(1)可知:AF=DE=1+3=4,

∴AC=CF+AF=1+4=5,

∴cos∠DBA=cos∠DCA==

練習冊系列答案
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