Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠B=45°，AB=2，AC=4，△DAE是等腰直角三角形，且∠DAE=90°, D在邊BC上.

（1）求BC的長；

（2）如圖1，當點E在AC上時，求點E到BC的距離；

（3）如圖2，當點D從點B向點C運動時，求點E到BC的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）BC=；（2）；（3）

【解析】

（1）作AF⊥BC于F，根據等腰直角三角形的性質求出AF、BF，根據勾股定理求出FC，計算即可；

（2）作EH⊥BC于H，根據直角三角形的性質得到∠C=30°，根據正弦的定義求出AD，得到AE的長，求出EC，根據直角三角形的性質計算；
（3）根據題意得到點D運動到點C的位置時，點E到BC的距離的最大，仿照（2）的計算過程解答．

解：（1）作AF⊥BC于F，
∵∠B=45°，AB=2，
∴AF=BF=2

∵AC=4，
∴FC= ，

∴BC=BF+FC=；

（2）作EH⊥BC于H，
在Rt△AFC中，AF=2，AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠ADF=60°，
∴AD= =，
∴AE=AD=，
∴EC=AC-AE=4-，
∴EH=EC=；

（3）由題意得，當點D運動到點C的位置時，點E到BC的距離的最大，如圖2，
作AF⊥BC于F，EH⊥BC于H，延長EA交BC于G，
由（2）得，AG=，AE=AC=4，
∴EG=AG+AE=4+，
在Rt△EGH中，EH=EG×sin∠EGH=（4+）×=2+2．